Tiefbauamt erhält die Planung eines Abwasserkanals mit trapezförmigem Querschnitt.

Question

Aufgabe:

Das Tiefbauamt erhält die Planung eines Abwasserkanals mit trapezförmigem Querschnitt; der Kanal soll nach oben offen sein und die beiden Seitenwände sollen aus bautechnischen Gründen eine Neigung von 45° aufweisen.

Der auszumauernde Teil des Trapezumfanges (Seitenwände und Boden) soll 28m betragen.

a) Wie tief muss der Kanal werden, wenn größte Fassungsvermögen erreicht werden soll? Wie groß ist a und die Länge x der Seitenwand?

b) Berechnen Sie den Querschnitt für diesen Extremwert.

c) Welche Tiefen kann der Abwasserkanal anderfalls überhaupt annhemen?

Answer 1

a) Wie tief muss der Kanal werden, wenn größte Fassungsvermögen erreicht werden soll ? Wie groß ist a und die Länge x der Seitenwand ?

Nebenbedingungen:

h^2 + h^2 = x^2
x = √2·h

a + 2·x = 28
a + 2·√2·h = 28
a = 28 - 2·√2·h

b = a + 2·h
b = h·(2 - 2·√2) + 28

Hauptbedingung

A = (a + b)/2·h
A = ((28 - 2·√2·h) + (h·(2 - 2·√2) + 28))/2·h = h·(28 - h·(2·√2 - 1)) = h^2·(1 - 2·√2) + 28·h
A' = h·(2 - 4·√2) + 28 = 0
h = 4·√2 + 2 = 7.656854249

a = 28 - 2·√2·h = 28 - 2·√2·(4·√2 + 2) = 12 - 4·√2 = 6.343145750

x = √2·(4·√2 + 2) = 2·√2 + 8 = 10.82842712

b) Berechnen Sie den Querschnitt für diesen Extremwert.

A = h^2·(1 - 2·√2) + 28·h = (4·√2 + 2)^2·(1 - 2·√2) + 28·(4·√2 + 2) = 56·√2 + 28 = 107.1959594

c) Welche Tiefen kann der Abwasserkanal anderfalls überhaupt annhemen ?

Wenn x = 0 dann ist h = 0
Wenn x = 14 dann ist h = 9.899

0 ≤ x ≤ 9.899