Question

Welche Maße müsste der Kanal haben, wenn man die Form eines Rechtecks mit angesetztem Halbkreis wählt und bei vorgegebenem Querschnitt von 100 m² der auszumauernde Teilumfang (Seitenwände und Boden; nach oben offen) wegen der Reibung möglichst klein werden soll ?

Skizze:

Answer 1

Da braucht man nicht rechnen. Da ein Kreis bei gegebener Fläche den kleinsten Umfang hat muss b hier 0 sein und das ganze muss ein Halbkreis sein.

Hier trotzdem noch eine Kurzfassung der Rechnung.

Nebenbedingung:

A = 2·r·h + pi·r^2/2 = 100
h = 50/r - pi·r/4

Hauptbedingung:

U = 2·h + pi·r = 2·(50/r - pi·r/4) + pi·r = pi·r/2 + 100/r
U' = pi/2 - 100/r^2 = 0
r = √(200/pi) = 7.978845608

h = 50/r - pi·r/4 = 50/√(200/pi) - pi·√(200/pi)/4 = 0

Comments

Das bedeutet die Maße des Kanal müssten a=100m² und b=0 sein, darf ich fragen ob es da ein Trick gibt wie man das erkennt oder muss ich dafür ein "Mathecoach" sein (= ?

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Wie gesagt hat ein Kreis von allen Flächen mit gleichem Flächeninhalt den kleinsten Umfang.

Auch die Kugel hat von allen Volumen mit gleichem Rauminhalt die kleinste Oberfläche. Wir könnten deine Figur an a nach oben Spiegeln. Dann hätten wir das doppelte Volumen und uns fragen ob wir den Umfang verkleinern können ohne den Flächeninhalt zu verändern. Das das geht wissen wir, da der kreis eben den kleinsten Umfang hat. Also mache ich daraus einen Kreis mit der Symmetrieachse a. Nun kann ich aber auch nur noch wieder einfach den unteren Teil betrachten.

Aber auch wenn man sowas leicht sehen kann wollen Lehrer meist gerne noch eine Rechnung haben.