Antwort auf Version vom Vortag: … Wendepunkt (W|yW). Im Punkt P(4|6)…
Aloha :)
"Eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Polynomfunkton 3.Grades..."
Das sind 2 Informationen, wir erfahren hier, dass ein Polynom 3-ten Grades gesucht ist:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$und das die Funktion durch den Punkt \((0|0)\) geht. Das heißt:$$0=p(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d\quad\Rightarrow\quad d=0$$Also sieht die Funktion wie folgt aus:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx$$
"...hat den Wendepunkt (W|yW)..."
Am Wendepunkt ist die zweite Ableitung gleich \(0\). Daher benötigen wir die Ableitungen:$$p'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$p''(x)=6ax+2b$$Der Wendepunkt liegt bei \((w|y_w)\), daher muss gelten:$$0=p''(w)=6aw+2b\quad\Rightarrow\quad b=-3aw$$Damit sieht die gesuchte Funktion so aus:$$p(x)=ax^3-3aw\,x^2+cx$$
"...Im Punkt P(4|6) hat die Funktion eine waagrechte Tangente."
An der Stelle \(x=4\) hat die Funktion den Wert \(p(4)=6\). Das heißt:
$$6=p(4)=a\cdot4^3-3aw\cdot4^2+c\cdot4=64a-48aw+4c\quad\Rightarrow\quad64a-48aw+4c=6$$
An der Stelle \(x=4\) hat die Funktion auch eine waagerechte Tangente, d.h. die erste Ableitung ist \(0\):
$$0=p'(4)=3a\cdot4^2+2b\cdot4+c=48a+8\cdot(\underbrace{-3aw}_{=b})+c\quad\Rightarrow\quad48a-24aw+c=0$$Zur Ermittlung der beiden noch fehlenden Parameter \(a\) und \(c\) haben wir also folgende beiden Gleichungen:
$$1)\quad(64-48w)\cdot a+4\cdot c=6$$$$2)\quad(48-24w)\cdot a+c=0$$Die zweite Gleichung liefert \(c=-(48-24w)\cdot a\). Das setzen wir in die erste Gleichung ein:
$$6=(64-48w)\cdot a+4\cdot c=(64-48w)\cdot a-4(48-24w)\cdot a=(48w-128)\cdot a$$$$\Rightarrow a=\frac{6}{48w-128}=\frac{3}{24w-64}$$Dieses Ergebnis setzen wir in die 2-te Gleichung ein, um \(c\) zu ermitteln:
$$c=-\frac{3\cdot(48-24w)}{24w-64}=\frac{72w-144}{24w-64}$$Damit haben wir die Funktion gefunden:
$$p(x)=ax^3-3aw\,x^2+cx$$$$\phantom{p(x)}=\frac{6}{48w-128}x^3-\frac{18w}{48w-128}\,x^2+\frac{72w-144}{24w-64}\,x$$$$\phantom{p(x)}=\frac{3}{24w-64}x^3-\frac{9w}{24w-64}\,x^2+\frac{72w-144}{24w-64}\,x$$$$\phantom{p(x)}=\frac{3}{24w-64}\left(x^3-3w\,x^2+(24w-48)\,x\right)$$
