Aloha :)
Ich würde \(\sin\)- und \(\cos\)-Funktion nicht zusammenfassen. Die eine ist die Ableitung der anderen, weshalb das Integrieren extrem einfach ist:
$$\int\limits_{11\pi/6}^{7\pi/3}\int\limits_0^1 r^2\sin\varphi\cos\varphi\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{11\pi/6}^{7\pi/3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\int\limits_0^1 r^3\,dr$$$$=\left[\frac{1}{2}\sin^2\varphi\right]_{11\pi/6}^{7\pi/3}\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 r^3\,dr=\frac{1}{8}\left[\sin^2\left(\frac{7\pi}{3}\right)-\sin^2\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right]$$
