ich versuche die Herleitung von Tschebyscheff-Ungleichung zu verstehen.
$$ \text { Für alle außen liegenden Werte gilt bekanntlich: } \quad\left|\mathrm{X}_{\mathrm{i}}-\mathrm{E}\right| \geq \mathrm{c} \text { also auch }\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{E}\right)^{2} \geq \mathrm{c}^{2} $$
Ersetzen wir auf der rechten Seite damit jede der Klammerquadrate durch das kleinere c',
dann wird die rechte Seite nochmals verkleinert und es folgt
$$ \begin{array}{l} {\mathrm{V}(\mathrm{X}) \geq \mathrm{c}^{2} \cdot \mathrm{p}_{\mathrm{r}+1}+\ldots+\mathrm{c}^{2} \cdot \mathrm{p}_{\mathrm{k}}} \\ {\text { Ausklammern von } \mathrm{c}^{2}:} \end{array} $$
Nun ersetzen wir \( \mathrm{V}(\mathrm{X}) \) durch \( \sigma^{2}: \quad \sigma^{2} \geq \mathrm{c}^{2}-\left(\mathrm{p}_{\mathrm{r}+1}+\ldots+\mathrm{p}_{\mathrm{k}}\right) \)
Rechts steht die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Werte, die außen liegen.
$$ \text { Für sie gilt } \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}| \geq \mathrm{c}) . \text { Ergibt: } \quad \sigma^{2} \geq \mathrm{c}^{2} \cdot \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}| \geq \mathrm{c}) $$
$$ \text { Division durch } \mathrm{c}^{2} \text { liefert das Ergebnis: } \quad \quad \quad \quad P(|X-E| \geq c) \leq \frac{\sigma^{2}}{c^{2}} $$
Alles bis auf den letzen Schritt der Division verstehe ich nicht....
