Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Bei dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Exponentialverteilung und der Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung auf eine konkrete Problemstellung. Die Exponentialverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch den Parameter \(\mu\) (häufig als Rate \(\lambda=1/\mu\) bezeichnet) charakterisiert ist. Die Zufallsvariable \(X\), die die Dauer von Telefongesprächen beschreibt, folgt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter \(\mu=0,8\,\text{min}^{-1}\).
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist gegeben durch:
\(
f(x;\mu) = \mu \exp(-\mu x), \quad x \geq 0
\)
Der Erwartungswert und die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsvariablen sind:
\(
E(X) = \frac{1}{\mu}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\mu^2}
\)
Da der Parameter \(\mu = 0,8\), erhalten wir:
\(
E(X) = \frac{1}{0,8} = 1,25 \quad \text{Minuten}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{0,8^2} = 1,5625 \quad \text{Minuten}^2
\)
Die Tschebyscheff-Ungleichung gibt eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert um mehr als \(k\) Standardabweichungen abweicht. Für jede Zufallsvariable \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\) gilt:
\(
P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
\)
a) Höchstens eine Minute
Für die Exponentialverteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Telefongespräch höchstens eine Minute dauert, gegeben durch:
\(
P(X \leq 1) = 1 - \exp(-\mu x) = 1 - \exp(-0,8 \cdot 1) = 1 - \exp(-0,8) \approx 0,55
\)
b) Mindestens 2 Minuten
Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Telefongespräch mindestens 2 Minuten dauert:
\(
P(X \geq 2) = \exp(-\mu x) = \exp(-0,8 \cdot 2) = \exp(-1,6) \approx 0,202
\)
c) Zwischen 1 und 3 Minuten
Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Telefongespräch zwischen 1 und 3 Minuten dauert:
\(
P(1 \leq X \leq 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq 1) = \exp(-0,8 \cdot 1) - \exp(-0,8 \cdot 3) \approx 0,55 - 0,099 = 0,451
\)
Tschebyscheff-Ungleichung - Abweichung um mehr als 2 Minuten
Angenommen, wir möchten die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass die Dauer eines Telefongespräches von seiner erwarteten Dauer (1,25 Minuten) um mehr als 2 Minuten abweicht. Das bedeutet, wir setzen \(k\sigma\) gleich 2. Da \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = 1,25\), erhalten wir:
\(
k = \frac{2}{\sigma} = \frac{2}{1,25} = 1,6
\)
Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung:
\(
P(|X-1,25| \geq 2) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1,6^2} \approx \frac{1}{2,56} \approx 0,391
\)
Exakter Wert der Wahrscheinlichkeit
Berechnen wir nun den exakten Wert der Wahrscheinlichkeit, dass die Dauer eines Gespräches um mehr als 2 Minuten von der durchschnittlichen Dauer abweicht. Dies beinhaltet zwei Teile: kürzer als \(-0,75\) Minuten (was physikalisch nicht möglich ist, also \(0\)) und länger als \(3,25\) Minuten. Da der negative Teil nicht möglich ist, betrachten wir nur den zweiten Teil:
\(
P(X \geq 3,25) = \exp(-0,8 \cdot 3,25) = \exp(-2,6) \approx 0,074
\)
Es ist zu beachten, dass hier ein Verständnisfehler vorliegen könnte, da die Frage nach einer Abweichung "von seiner erwarteten Dauer um mehr als 2 Minuten" sich normalerweise auf beide Richtungen (weniger oder mehr) bezieht, aber für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer Exponentialverteilung nur der Bereich über dem Erwartungswert sinnvoll ist. Dennoch demonstriert das obige Beispiel, wie man die Tschebyscheff-Ungleichung anwendet, und zeigt den Unterschied zu einem exakten Wert auf.
