Punkte vom Viereck bestimmen

Question

Aufgabe:

Es ist eine Strecke gegeben, die eine Diagonale von einem Viereck ist. Das Viereck selber liegt in der xy- Ebene. Es sollen die beiden restlichen Punkte vom Viereck bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Mittelpunkt der Diagonale bestimmt und es so probiert. Indem ich dann eine Gleichung aus dem Abstand, dem Mittelpubkt und dem unbekannten Punkt entwickelt habe. Danach habe ich die Länge der Seite a berechnet. Und habe so versucht die beiden daraus entstandenen Gleichungen aus fehlenden Punkt, der Länge und gegebenden Punkt gleich zusetzten. Leider ohne Erfolg. Mehr Ansätze fallen mir nicht ein.

Answer 1

Wenn das Viereck ein achsenparalleles Rechteck sein sollte, richte dich nach dieser Skizze:

Comments

In der Aufgabenstellung steht, dass das Viereck ein Quadrat sein soll. Sorry

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Sei \( \overline{AC} \) die Diagonale und M ihr Mittelpunkt, dann bestimme einen Punkt B mit |MB|=|MA| und \( \vec{MB} \)·\( \vec{MA} \) =0  sowie einen Punkt D mit |MD|=|MA| und \( \vec{MD} \)·\( \vec{MA} \) =0 symmetrisch zu B bezüglich der Achse AC.

Answer 2

Die Steigung m1 der Geraden durch die gegebenen Punkte bestimmen. Die andere Diagonale verläuft senkrecht dazu, also m2=-1/m1. Der Abstand der Eckpunkte vom Mittelpunkt muss in allen vier Richtungen gleich sein, wenn das Viereck ein Quadrat sein soll.

Mit konkreten Zahlen wäre es einfacher zu erklären. Außerdem ist nicht klar, welche Methoden dir bekannt sind, also lineare Funktionen, Vektoren, usw.

Comments

Die Punkte lauten Q (7/5/0) und S (3/2/0). Mit vektoren komme ich besser zurecht.

Answer 3

Wenn Du die Punkte mit A und C bezeichnest, dann:

\( X = \overrightarrow{AC} / 2 \)

\( M = A+X \)

\( B = M-X^\perp \)

\( D = M+X^\perp \)

Answer 4

Hallo Klara,

In der Aufgabenstellung steht, dass das Viereck ein Quadrat sein soll. Sorry

Die Punkte lauten Q (7/5/0) und S (3/2/0).

dann sind ja jetzt alle notwendigen Informationen da ;-)

Mit Vektoren komme ich besser zurecht.

dann mache ich es vektoriell: Man berechne zunächst den Mittelpunkt \(M\) des Quadrats $$M = \frac 12 (Q + S) =\frac 12 \left( \begin{pmatrix} 7\\ 5\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\right) =  \begin{pmatrix} 5\\ 3,5\\ 0 \end{pmatrix}$$dann den Vektor \(e\) der Diagonalen$$e = \vec{QS} = S - Q =  \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7\\ 5\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ -3\\ 0 \end{pmatrix}$$Mit der Vorgabe, dass sich das Quadrat in der xy-Ebene befindet, ist auch der Normalvektor \(n\) dieser Ebene gegeben. Dann bekommt man den Vektor \(f = \vec{RT}\) der Gegendiagonalen aus dem Kreuzprodukt \(n \times e\). \(n\) muss dazu die Länge \(1\) haben.$$f = n \times e = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} -4\\ -3\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 0 \end{pmatrix}$$und die fehlenden Punkte \(R\) und \(T\) berechnen sich nun nach $$\begin{aligned} R &= M - \frac 12 f = \begin{pmatrix} 3,5\\ 5,5\\ 0 \end{pmatrix}  \\ T &= M + \frac 12 f = \begin{pmatrix} 6,5\\ 1,5\\ 1 \end{pmatrix}  \end{aligned}$$Das ganze nochmal zur Veranschaung in Geoknecht3D (klick auf das Bild)

Gruß Werner