Beweis das die folgenden mengen Teilräume des (Z/7Z)^3 sind

Question

Aufgabe:

Die frage lautet

Beweisen bzw. widerlegen Sie, dass die folgenden Mengen Teilraume des (Z/7Z)3 sind.

(a) V = {(x,y,z) ∈ (Z/7Z)^3 : 6x−2y + z = [0]}

(b) W = {(x,y,z) ∈ (Z/7Z)^3 : 2x−7y + 3z−[7] = [0]}

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich das lösen von diese aufgabe anfangen soll.

Answer 1

a) einfach die Unterraumkriterien anwenden:

1.  Für u und v aus ist auch u+v ∈ V  .

Bew.:  u = (u1,u,,u3)  ∈ V   ==>  6u1  -2u2 +u3 = [0]

und v entsprechend. Dann ist zu zeigen:

6(u1+v1)  -2(u2+v2)  +(u3+v3)  = [0] , und das kannst du

leicht herleiten. Gilt in jedem Körper nicht nur bei Z/7Z.

Bei b) entsprechend, beachte hier  [7] = [0].