Untersuchen Sie, ob folgende Mengen Teilräume des R³ sind.

Question

Folgendes Problem:

Ich habe 3 Mengen M1, M2, M3 nun soll ich beweisen ob diese Mengen Teilräume des R³ sind jedoch hab ich absolut keinen Plan wie das funktionieren soll... Ich wäre über 1 ausführliches Beispiel sehr dankbar damit ich die anderen beiden als Übung machen könnte bzw. eine Erklärung wie/was ich machen muss wäre auch hilfreich...

\( \left\{\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right. \)

Alle Mengen bestehen aus dem hier:

Für M1 gilt: x² = z

Für M2 gilt x = y

Für M3 gilt z = y + 3

...

Comments

Welche beiden Bedingungen muss ein Teilraum das R3 erfüllen ?

Wenn du es nicht aus dem Kopf weißt, könnte die Vorlesungsmitschrift oder ein Skript helfen.

Prüfe die Mengen M1, M2 und M3 auf diese Eigenschaften.

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Frage: ist das wort Teilraum gleichzusetzen mit unterraum?

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Antwort: Ja! :)

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Ja, beides ist gleichbedeutend mit "Untervektorraum".

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Nicht unbedingt: Oft spricht man auch von affinen Teil-/Unterräumen.

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Also ich würde Sagen die Vektoraddition und die Skalar Multiplikation gehören dazu.

Erste Menge lässt sich schreiben als  x y x² 

Ist das nun ein unterraum oder nicht...? Dazu hab ich jetzt nichts in meinem Skript gefunden da wurde nur auf den Nullvektor geprüft.

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10001000Nick1 schrieb: Nicht unbedingt: Oft spricht man auch von affinen Teil-/Unterräumen.

Das ist richtig. Ist dies gemeint, so ist das Adjektiv affin aber nicht entbehrlich und steht nach meiner Erfahrung immer dabei. Ich sehe daher nicht, inwiefern das ein Widerspruch zu meinem Kommentar ist.

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Eigentlich wollte ich damit sagen: Es gibt Leute, die sagen einfach nur "Unterraum", wenn sie einen affinen Unterraum meinen. Ein Untervektorraum ist dann ein "linearer Unterraum".

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Ok, das ist mir so nicht geläufig, ich nehme es mal zur Kenntnis. Im Darstellungszusammenhang sind begriffliche Verkürzungen natürlich möglich.

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Du schriebst

[x, y, x^2] + [x, y, x^2] = [2x, 2y, 2x^2]

Ist dieses neue Element denn wieder in der Teilmenge ? Ist z = x^2 ?

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Ich verstehe leider nicht ganz wodran ich das festlegen soll ob das jetzt wieder in der Teilmenge ist... 

Zu z = x² würde ich sagen das es stimmt da ja oben definiert war bei der menge das x² = z ist .

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[2x, 2y, 2x²]

Schau dir mal den wert bei x an und schau dir den Wert bei z an. Steht bei z jetzt das was bei x steht zum quadrat ?

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Ahh ich glaube ich hab eine Idee!

Und zwar die Bedingung war ja z = x², wenn ich nun die Vektoraddition durchgeführt habe müsste ja z = x² sein.

Angenommen ich setze x = 5 somit wäre x = 2 * 5 = 10.

Z müsste demnach 100 sein (x²). 

Jedoch ist 2 * 5² = 2*25 = 50.

Also ist M1 keine Teilmenge! 

Richtig :s?

Edit: wow ich bin sogar von selbst Draufgekommen ohne vorher die Seite zu aktualisieren! :D

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Richtig. M1 ist kein Teilraum [verbessert].

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Keine Teilmenge?

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Also bei M2:

Bedingung x = y.

Das wäre ja dann [x y z] +  [x y z] = [2x 2y 2z] <-- Korrekt

Bei der Skalarmultiplikation setze ich z.b. 3 ein:

also 3* [x y z] = [3x 3y 3z] auch Korrekt somit ist M2 eine Teilmenge des R³ 

M3: z = y + 3

[x y y+3] + [x y y+3] = [2x 2y 2y+6] 

Für y = 4 einsetzen: [2x 8 14] Falsch somit keine Teilmenge

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Das sind alles Teilmengen, achte auf die korrekte Wortwahl.

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Ok.. Somit sind M1 und M3 keine Teilräume des R³

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\(\)Korrekt\(\).

Answer 1

Jede Punktmenge des R3, deren Koordinaten die Ebenengleichung  a*x+b*y+c*z = 0

erfüllen, ist eine zweidimensionaler Unterraum des R3.  (M2)

M3 ist eine Ebene, die nicht durch den Ursprung verläuft, also kein Unterraum.

M1 ist keine lineare Gleichung, also auch kein Unterraum.

Eindimensionale Unterräume wären Geraden durch den Ursprung.

Comments

Hi Wolfgang,

"M1 ist keine lineare Gleichung, also auch kein Unterraum."

das ist keine ausreichende Begründung.

Gruß