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Damit \((U,+,\cdot)\) über einem Körper \(\mathbb R\) ein Untervektorraum ist, muss Folgendes gelten:
(1) \(U\ne\emptyset\quad\)(die Menge ist nicht leer)
(2) \(u\,,\,v\in U\implies u+v\in U\quad\)(abgeschlossen bezüglich der Addition)
(3) \(a\in\mathbb R\,,\, u\in U\implies a\cdot u\in U\quad\)(abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)
Man kann die Forderungen (1) und (3) auch kombinieren. Nach (1) gibt es ein \(u\in U\). In jedem Körper gibt es die \(0\) als neutrales Element. Nach (3) muss daher auch \(0\cdot u=0\) in \(U\) enthalten sein. Mit anderen Worten, in \(U\) muss es immer ein Nullelement geben!
$$T_1=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\,\big|\,2x=y\right\}$$
Das Nullelement \(\binom{0}{0}\) erfüllt die Bedinung, denn \(2\cdot0=0\quad\checkmark\)
Für die Summe \(\binom{x_1}{y_1}+\binom{x_2}{y_2}=\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}\) zweier Elemente aus \(T_1\) gilt:$$2(x_1+x_2)=\red{2x_1}+\green{2x_2}=\red{y_1}+\green{y_2}=(y_1+y_2)\quad\checkmark$$
Für ein Produkt \(a\cdot\binom{x}{y}=\binom{ax}{ay}\) mit \(a\in\mathbb R\) und \(\binom{x}{y}\in T_1\) gilt:$$2(ax)=a\cdot\pink{2x}=a\cdot \pink y=(ay)\quad\checkmark$$
Alle drei Bedingungen sind erfüllt, daher ist \(T_1\) ein Untervektorraum des \(\mathbb R^2\).
$$T_2=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\,\big|\,x^3+y^3=1\right\}$$
Das Nullelement \(\binom{0}{0}\) liegt nicht in \(T_2\), denn \(0^3+0^3\ne1\)
Daher ist \(T_2\) kein Untervektorraum.
