Funktionenschar , Funktionenscharen untersuchen auf Wendepunkte

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar Fa mit fa(x) = x 2-ax^3+1 (a ungleich 0).
a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von fa einen Wendepunkt haben.
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und
bestimmen Sie die zugehörige Gleichung.

Problem/Ansatz:

Ich weiß zwar dass es die Aufgabe bereits gibt, aber die Frage wurde sehr kompliziert beantwortet und man konnte gar nichts identifizieren bei der Antwort, da zwischendurch Befehle wie Frac oderso auftauchten.

Ich habe die a) schon berechnet, komme aber beim Wendepunkt bei der x-Stelle auf x=1/3 a und dann habe ich diese Stelle in die Ausgangsfunktion fa(x) eingesetzt und komme dann auf y= -1/27 a^4 + 1/9 a^2 +1

Ich habe bei meinen Lösungen nachgeguckt und komme auf was anderes. vielleicht habe ich ja falsch abgeschrieben... Kann mir jemand helfen

Answer 1

komme aber beim Wendepunkt bei der x-Stelle auf x=1/3 a

Ist es nicht x = 1/(3a)  und damit y = 1 + 2 /(27a^2)  ???

Answer 2

fa(x) = x^2 - a·x^3 + 1

fa'(x) = 2·x - 3·a·x^2

fa''(x) = 2 - 6·a·x = 0 --> x = 1/(3·a) ist Nullstelle mit Vorzeichenwechsel also eine wirkliche Wendestelle

Ortskurve

2 - 6·a·x = 0 → a = 1/(3·x)

y = x^2 - (1/(3·x))·x^3 + 1 = 2/3·x^2 + 1

Comments

Bin jetzt auch bis 2/ (27/9x^2) +1 gekommen. Darf ich einfach die 27 durch die 9 teilen weil da steht ja im nenner x^2

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Also die x^2 stehen doch eigentlich im Nenner warum hast du die nach der 2/3 geschrieben, das verstehe ich nicht , müsste das nicht 2/(3x^2) heißen

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Die x^2 stehen nicht im Nenner. Wie kommst du darauf?

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Kann ich hier ein Foto von meinem Rechenweg reinschicken?

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Ja. Das darfst du.

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Also ich habe zu allererst den X Wert vom Wendepunkt nach a umgeformt

x= 1/(3a) | · 3a

3a· x = 1  | :3

ax     = 1/3  |:x

a = 1/(3x)

Dann in y Koordinate von WP eingesetzt

y= 2/(27·a^2) +1

y= 2/(27· 1/(3x))^2. +1

y= 2/(27/9x^2) +1

y= 2/(3x^2) +1

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Deine Zeile

y= 2/(27·a^2) + 1

ist mir nicht klar. Du musst jetzt das a durch 1/(3·x) ersetzen oder nicht

y = x^2 - a·x^3 + 1

y = x^2 - 1/(3·x)·x^3 + 1

Dieses sollte jetzt vereinfacht werden. Wenn du damit selber Schwierigkeiten hast dann könnte ein Tool wie Photomath eventuell nützlich sein.

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Achso, wie ich sehe hast du die Ausgangsfunktion von ganz oben genommen, ich habe den y-Wert von meinem Wendepunkt genommen. Muss man aber nicht den y wert vom wendepunkt nehmen um die ortskurve zu bestimmen?

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Es ist egal ob du die Ausgangsfunktion oder den y-Wert des Wendepunktes nimmst.

y = 2/(27·a^2) + 1

y = 2/(27·(1/(3·x))^2) + 1 = 2/3·x^2 + 1

Nach dem Vereinfachen kommt also auch hier das gleiche heraus was ich in meiner anfänglichen Rechnung geschrieben habe.

Answer 3

Hallo

 dein Fehler: der Wendepunkt ist mit bei 1/3*a sondern bei 1/(3a)

Gruß lul