Grenzwert - Umstellen und Faktorisierung Brüche

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to1} \) (\( \frac{1}{1-x} \) - \( \frac{3}{1-x^3} \))

Problem/Ansatz:

!

Bei dieser Aufgabe soll ich den Grenzwert bestimmen.

Bei der Lösung kommt dann als nächster Schritt: \( \lim\limits_{x\to1} \) \( \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} \)

Hier wurden ja wahrscheinlich die beiden Brüche zusammen gebracht und dann die Nullstellen faktorisiert. Bei mir ergeben sich nach einer Polynomdivision für die Nullstellen:

x_1,2 = 1 (doppelte)

x₃ = - 2 (einfache)

Müsste dann im Zähler nicht eigentlich (x-1)²(x+2) stehen?

Was wurde im Nenner gemacht?

Answer 1

Hier gilt $$ 1 - x^3 = (1-x)(1+x+x^2) $$ Das ist dann auch der Hauptnenner. Die Differenz des Ausgangsausdrucks auf diesen Hauptnenner bringen und den entstehenden Zähler faktorisieren ergibt den von Dir genannten Ausdruck.