Wie oft darf ich Logarithmusgesetze anwenden?

Question

Beispielsweise habe ich die Aufgabe:

ln\( \sqrt{1+x^2} \)

Vereinfacht zu:

\( \frac{1}{2} \) * \(ln( 1+x^{2} \) )

darf ich nun den Exponenten von x mit dem Logarithmusgesetz erneut nach vorne schreiben? Falls nicht, warum nicht?

Answer 1

ln (1+x^2 ) .
Das hoch 2 gilt nur x.
Test
ln ( 3 + 4^2 ) = ln ( 19 ) = 2.9444
2 * ln ( 3 + 4 ) = 2 * ln ( 7 ) = 3.8918
Stimmen also nicht überein.

Comments

Wenn dort ln( 7 * 8 ^2 ) stehen würde, könnte man dann den Exponenten nach vorne ziehen?

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Dann mach die Probe
ln( 7 * 8^2 )  = ln (448) = 6.1
2 * ln ( 7 * 8 ) = 2 * ln ( 56 ) = 8.05
Offensichtlich nicht.

Answer 2

Es gibt Regeln zur Umwandlung des Logarithmus eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz, aber nicht für den Logarithmus einer Summe oder einer Differenz.

Comments

Wenn dort ln( 7 * 8 ^2 ) stehen würde, könnte man dann den Exponenten nach vorne ziehen?

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Ja, so:

ln(7)+ln(8²)=ln(7)+2·ln(8)

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Wenn dort ln( 7*8^2 ) stehen würde, könnte man dann den Exponenten nach vorne ziehen?

Nein, das darfst Du nur, wenn die Potenz alles umfasst, also (7*8)^2.

Aber Du kannst hier erst das Produkt zerlegen

ln(7*8^2) = ln(7)+ln(8^2)

dann die Potenz vorziehen

= ln(7)+2 ln(8)