Warum gilt 2^{log_{10}(5n)}=(5n)^{log_{10}(2)} ? (Logarithmusgesetze)

Question

Aufgabe:

Warum ist folgende Umformung korrekt ?

$$ 2^{log_{10}(5n)}=(5n)^{log_{10}(2)} $$

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Möglichkeit gefunden die Gleichheit zu zeigen. Die gängigen Log. Gesetze haben mich nicht zum Ziel gebracht.

Answer 1

Aloha :)

Diese Art von Beziehungen braucht man oft in der Informatik für Laufzeitberechnungen:$$a^{\log_c(b)}=c^{\log_c\left(a^{\log_c(b)}\right)}=c^{\log_c(b)\cdot\log_c(a)}=c^{\log_c(a)\cdot\log_c(b)}=c^{\log_c\left(b^{\log_c(a)}\right)}=b^{\log_c (a)}$$

Answer 2

Die Umformung ist nicht korrekt.

Comments

In der Tat, weil ich eine Klammer vergessen hatte. 5n sollte umklammert sein, habe ich jetzt korrigiert. Nun sollte es korrekt sein, zumindest gemäß WolframAlpha

Answer 3

Vermutlich so

$$2^{\log_{10}{(5n)}} = (5n)^{\log_{10}{2}} \\ \log_{10}{\left( 2^{\log_{10}{(5n)}} \right)} = \log_{10}{\left( (5n)^{\log_{10}{2}}\right)} \\ {\log_{10}{(5n)}} \cdot \log_{10}{\left( 2 \right)} = {\log_{10}{2}} \cdot \log_{10}{(5n)}$$