Logarithmengleichung 2 log_{x}(27) - 3 log_{27} x = 1 (Warum kann ich das nicht so lösen?)

Question

Aufgabe:

\( 2 · log_{x}(27) - 3 · log_{27} x = 1 \)

Mein Lösungsweg:

1. Ich habe zuerst begonnen diese Gleichung nach den Logarithmusgesetzen umzuformen

log_x(27²) - log₂₇(x³) = 1

2. Weiter umgeformt!

(log₂₇(27²))/(log₂₇(x)) - log₂₇(x³) = 1

3. Kürzen!

log₂₇((27² * x^-1)/x³) = 1

4. Zusammen gefasst

27 = 27²/(x⁴)

Warum kann ich nicht so rechnen?

Vielen Dank im Voraus!

LG
VW

Comments

Bei 2. steht ein " / " .
Du formst aber so um, als ob dort ein " - " stehen würde.

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Es steht doch auch ein Minus da in der Aufgabe. Das ist doch auch ein Gesetz:

$$\log _{\mathrm{a}}\left(\frac{\mathfrak{u}}{\mathrm{v}}\right)=\log _{\mathrm{a}}(\mathrm{u})-\log _{\mathrm{a}}(\mathrm{v})$$

Oder liege ich hier komplett falsch?

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Das ist schon richtig.

Aber du rechnest vorn  falsch:  log_b (x) / log_b (y)  ≠  log_b ( x / y )

Answer 1

Hallo

 ja du liegst komplett falsch

du hast (log₂₇(27^2))/(log₂₇(x)) und behandelst es wie (log₂₇(27^2))-(log₂₇(x))

aber 2*log₂₇(27) ist doch einfach 2*1 setz das ein und setze log₂₇(x)=u dann hast du 2/u+3u=1

Gruß lul

Comments

2/u + 3u = 1

Das sollte wohl  2/u - 3u = 1  lauten

Answer 2

Beachte: "log(27) zur Basis x" ist log(27)/log(x) also lautet die Aufgabe
2*log(27)/log(x)-3*log(x)/log(27)=  1 |  * log(x)
2*log(27)-3/log(27)*log(x)²    =log(x) |Substitution y=log(x)
2*log(27)-3/log(27)*y²          =y         | /(-3/log(27)) oder *(-log(27))/3
y² +log(27)/3*y - 2/3*log(27)²    = 0 | Quadr. Gleichung mit 2 Lösungen dann Rücksubst...