Lösungsmenge der Logarithmengleichung 1/3·LG(4) + 2·LG(x) = 1/3·LG(16)?

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{3} \) lg 4 + 2 lg x = \( \frac{1}{3} \) lg 16

Problem/Ansatz:

2 lg x = \( \frac{1}{3} \) lg 16 - \( \frac{1}{3} \) lg 4

lg x = \( \frac{1}{2} \) lg \( \sqrt[3]{4} \)

lg x = lg \( \sqrt[6]{4} \)

x = \( \sqrt[6]{4} \)

Ich würde gerne wissen, wie ich auf die beiden Zeilen komme:

lg x = \( \frac{1}{2} \) lg \( \sqrt[3]{4} \)
lg x = lg \( \sqrt[6]{4} \)

Vielen Dank im Voraus :)

Comments

Hier wurde mit Potenzgesetzen ,bzw. mit den Logarithmusgesetzen gearbeitet:

$$\log(a)-\log(b)=\log\Big(\frac{a}{b}\Big) \\ a\cdot \log(x)=\log(x^a) \\ a^{m+n}=a^m\cdot a^n$$

Answer 1

1/3·LG(4) + 2·LG(x) = 1/3·LG(16)

2·LG(x) = 1/3·LG(16) - 1/3·LG(4)

LG(x) = 1/6·LG(16) - 1/6·LG(4)

LG(x) = 1/6·(LG(16) - LG(4))

LG(x) = 1/6·LG(16/4)

LG(x) = 1/6·LG(4)

LG(x) = 1/6·LG(4)

LG(x) = LG(4^(1/6))

x = 4^(1/6)

Schreibe dir dazu auch die Logarithmen-Gesetze auf die du verwendest

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Rechenregeln_und_grundlegende_Eigenschaften

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe,  so habe ich es perfekt Verstanden :)

Answer 2

\(\begin{aligned} & & \frac{1}{3}\lg16-\frac{1}{3}\lg4 & =\frac{1}{3}\left(\lg16-\lg4\right) & & \text{wegen Distributivgesetz}\\ & & & =\frac{1}{3}\cdot \lg\frac{16}{4} & & \text{wegen Logarithmusgesetz}\\ & & & =\frac{1}{3}\cdot \lg4\\ & & & =\lg\left(4^{\frac{1}{3}}\right) & & \text{wegen Logarithmusgesetz}\\ & & & =\lg\sqrt[3]{4} & & \text{wegen Definition rationale Exponenten}\\ \\ & & \frac{1}{2}\lg\sqrt[3]{4} & =\lg\left(\left(\sqrt[3]{4}\right)^{\frac{1}{2}}\right) & & \text{wegen Logarithmusgesetz}\\ & & & =\lg\left(\left(4^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right) & & \text{wegen Definition rationale Exponenten}\\ & & & =\lg\left(4^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}\right) & & \text{wegen Potenzgesetz}\\ & & & =\lg\left(4^{\frac{1}{6}}\right) & & \text{wegen Brucherechenregeln}\\ & & & =\lg\sqrt[6]{4} & & \text{wegen Definition rationale Exponenten} \end{aligned}\)

Answer 3

Hi, $$ \frac{1}{3} \lg(16) - \frac{1}{3} \lg(4) = \frac{1}{3} \lg \left( \frac{ 16 }{ 4 } \right) = \frac{1}{3} \lg(4) = \lg \left( 4^{\frac{1}{3}} \right) = \lg\left( \sqrt[3]{4} \right) $$

$$ \frac{1}{2} \lg \left( \sqrt[3]{4} \right) = \lg \left( \sqrt[3]{4}^{\frac{1}{2}} \right)  = \lg\left(  4^{\frac{1}{6}}  \right) = \lg \left( \sqrt[6]{4}  \right) $$