Berechnen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners: Bsp. (3^{-3})^3 / (-9)^{-5}

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners:

(a) \( \frac{\left(3^{-3}\right)^{3}}{(-9)^{-5}} \)

(b) \( \frac{a^{n-1} b^{1-n}}{a^{-n} b^{n}} \)

(c) \( \log _{2} 8 \cdot \log _{8} 2 \)

(d) \( \log _{3} \frac{1}{3}+\log _{5} \sqrt{5} \)

Comments

Eine Zusammenstellung der Potenzgesetze gibt's z.B. hier https://www.matheretter.de/wiki/potenzen

Answer 1

Hi,

a)

$$\frac{(3^{-3})^3}{(-9)^{-5}} = \frac{3^{-9}}{-(3^2)^{-5}} = \frac{3^{-9}}{-3^{-10}} = -3^{-9-(-10)} = -3^1 = -3$$

b)

$$\log_2(8)\cdot\log_8(2) = \log_2(2^3)\cdot\log_8(8^{\frac13}) = 3\log_2(2)\cdot\frac13\log_8(8) = 1$$

c)

$$\frac{a^{n-1}b^{1-n}}{a^{-n}b^n} = a^{n-1-(-n)}b^{1-n-n} = a^{2n-1}b^{1-2n}$$

d)

$$\log_3(\frac13)+\log_5(\sqrt{5}) = \log_3(3^{-1})+\log_5(5^{\frac12}) = -1\log_3(3)+\frac12\log_5(5) $$

$$= -1+\frac12 = -\frac12 $$

Grüße