Differenzierbarkeit von Polynomen

Question

Aufgabe:

(a) Beweisen Sie: Ist p ein Polynom, so gilt
lim \( \lim\limits_{h\to0+} \) p(1/h)e^(−1/h) =0.

(b) Seif:R→R gegeben durch
f(x) :{e^(-1/x) für x>0, 0 für x≤0.

Zeigen Sie, dass f auf R beliebig oft differenzierbar ist und, dass für alle n ∈ ℕ_0  gilt f^(n)(0) = 0.
 
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass es für alle n ∈ ℕ_0 ein Polynom p_n gibt, so dass für x > 0 gilt f ^(n)(x) = pn (1/x)e^(-1/x) . Nutzen Sie dann Teil (a) um zu zeigen, dass die links- und rechtsseitigen Differentialquotienten gleich sind.)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll...

Answer 1

Hallo

 zu a) statt das für p(1/h) zu zeigen zeige es für g(1/h)=(1/h)^k, k >=0 beliebig, dann gilt es auch für jedes Polynom . Natürlich musst du die Def. von e^x benutzen.

b ergibt sich dann daraus.

Gruß lul