Frage zur Berechnung von komplexen Zahlen

Question

Allgemeine Frage:

Wenn ich 2 komplexe Zahlen z1 und z2 über die trigonometrische Form multipliziere und das ganze dann über 360° Grad sind, subtrahiere ich dann immer 360°? Unsere Dozentin hat dies in einer Beispielaufgabe getan:

4(cos(524,931°)+ i sin(524,931°))

= 4(cos(164,931°) + i sin(164,931°))

Und in einer anderen Aufgabe hat sie 360° dazu addiert, da der Winkel negativ war.

Gilt das immer?

Comments

Die Argumente des Sinus und Cosinus sind  bei dir in in Grad, richtig?

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Ja, das ist richtig.

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Alles klar. Zu deiner Frage: die Winkelfunktionen sin und cos sind periodisch, daher es gilt

sin(x+k*360°)= sin(x)

wobei k eine ganze Zahl ist. In der Regel möchte man immer einen Wert zwischen 0 und 360° im Argument des sin/cos haben. Daher hat deine Dozentin jeweils 360° dazu addiert bzw. abgezogen.

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du ganz vorsichtig sein. Nehmen wir das Beispiel deiner Dozentin:$$4e^{i\,524,931^o}=4e^{i\,164,931^o}$$Wenn beide Zahlen gleich wären, müsste auch die Quadratwurzel aus beiden gleich sein:

$$\sqrt{4e^{i\,524,931^o}}=\sqrt{4e^{i\,164,931^o}}$$$$2e^{i\,\frac{1}{2}524,931^o}=2e^{i\,\frac{1}{2}164,931^o}$$$$2e^{i\,262,4655^o}=2e^{i\,82,4655^o}$$$$\cos(262,4655^o)+i\sin(262,4655^o)=\cos(82,4655^o)+i\,\sin(82,4655^o)$$$$-0,1311-i\,0,9914=0,1311+i\,0,9914$$$$0,2622+i\,1,9828=0$$

In der Gauß'schen Zahlenebene liegen beide Werte exakt übereinander, aber der eine Wert "weiß" quasi, dass er eine Umdrehung mehr hat als der andere Wert. Wenn du jetzt die Wurzel ziehst, werden die beiden Winkel halbiert. Dadurch zeigen die beiden Werte anschließend in die entgegengesetzte Richtung.

Ich würde es so ausdrücken: Die beiden Werte sind gleich, aber nicht identisch. Der Unterschied zeigt sich, sobald nicht-ganzzahige Exponenten mitspielen.

Answer 2

Du kannst immer beliebig oft 360° zu den Winkeln addieren oder davon subtrahieren,

weil ja immer sin(x±360°) = sin(x) [ und bei cos auch] gilt.