Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe Zeigen

Question

Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) gegeben, sowie die Ereignisse A, B und C.

Die Ereignisse A, B, C seinen stochastischunabhängig.

Zeigen Sie P(A∪B∪C) = 1−P(A¯)·P(B¯)·P(C¯) (wobei hier die Striche über A,B,C sein sollten..)

Answer 1

Aloha :)

$$P(A\cup B\cup C)=1-P(\overline{A\cup B\cup C})=1-P(\overline A\cap\overline B\cap\overline C)$$$$\phantom{P(A\cup B\cup C)}=1-P(\overline A)\cdot P(\overline B)\cdot P(\overline C)$$

Stichwort: Regeln von de Morgan für Mengen

https://de.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze

Answer 2

Setze zur Abkürzung P(A)=a, P(B)=b und P(C)=c. Das mit der stochastischen Unabhängigkeit soll wohl "paarweise" sein, so dass man als Voraussetzungen P(A∩B)=a*b und P(A∩C)=a*c und P(B∩C)=b*c und P(A∩B∩C) = a*b*c benutzen kann. Nun solltest du überlegen, mit welcher Regel man P(A∪B∪C) in einen Term mit a, b und c umrechnen kann. Diese Regel wird üblicherweise als "Summenregel" bezeichnet. Du benötigst sie in einer Form für drei Ereignisse. Du erhältst eine Summe mit a, b, c sowie ab, ac, bc und abc mit Vorzeichen. Dies war die linke Seite der Gleichung. Die rechte Seite ist 1-(1-a)*(1-b)*(1-c). Das kann man einfach ausmultiplizieren. Und man erhält die gleiche Summe.