Wahrscheinlichkeitsrechnung: wie löse ich die folgende Aufgabe? möchte die einzelnen Rechenschritte verstehen.

Question

Aufgabe:

Die automatische Abfüllung von 200 -Liter Fässern sei normalverteilt mit

f(x)=1/√2πσ^2. e^-(x-µ)^2/2σ^2     mit  µ=200 l und σ=2,8 l. Wie berechnet sich (nur Ansatz keine Rechnung!) die Wahrscheinichkeit dafür, dass ein beliebiges Fass

a) weniger als 195 l,

b) zwischen 199 und 201 l enthält?

vielen dank im voraus für jede Hilfe^!
Problem/Ansatz:

Answer 1

a) \(\int\limits_{-\infty}^{195} f(x)\mathrm{d}x\)

b) \(\int\limits_{199}^{201} f(x)\mathrm{d}x\)

Weil die Stammfunktion von \(f\) nicht elementar ist, verwendt man eine Tabelle mit der Verteilungsfunktion

        \(\Phi(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t\)

der Standardnormalverteilung und setzt zum Beispiel bei a) \(x = \frac{195-\mu}{\sigma}\) ein.

Bei b) würde man

        \(\int\limits_{199}^{201} f(x)\mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{201} f(x)\mathrm{d}x - \int\limits_{-\infty}^{199} f(x)\mathrm{d}x\)

verwenden.

Comments

Hallo,

könnten Sie bitte noch ein paar Schritte gehen, ich finde es immer noch schwierig die zu lösen!

vielen danke für Ihre Hilfe..

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Was genau bereitet dir Probleme? \(x = \frac{195-\mu}{\sigma}\) auszurechnen oder die dazu passende Wahrscheinlichkeit in deiner Tabelle nachzuschlagen?

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Die Berechnung von x ist in Ordnung, aber wie hast du es mit t formuliert, da das σ^2 unter die Wurzel fällt.

danke für deine Zeit!

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Die Funktion

      \(\Phi(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t\)

ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, das heißt der Normalverteilung mit \(\mu = 0\) und \(\sigma = 1\).

Mittels \(x = \frac{195-\mu}{\sigma}\) wird ein Problem über eine andere Normalverteilung (bei dir mit \(\mu = 200\) und \(\sigma = 2,8\)) in die Standardnormalverteilung übersetzt, so dass du die Funktion \(\Phi(x)\) verwenden darfst.

Die Werte der Funktion \(\Phi(x)\) gibt's als Tabelle, zum Beispiel unter https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle oder in gängigen Taschenrechnern eingebaut.

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vielen dank für die Erklärung, werde es nochmal versuchen,, nachdem Fußballspiel :))

Answer 2

Da dir ja bereits ausführlich geholfen wurde hier nur meine Ergebnisse zum Vergleichen. Solltest du etwas anderes heraus haben melde dich einfach nochmal.

a) P(X < 195) = 0.0371
b) P(199 < X < 201) = 0.2790