Ableitung mit cos und sin - Additionstheoreme?

Question

Aufgabe:

f(x) = \( \frac{cos(x^2)}{cos^2(x)} \) · e^2x

Problem/Ansatz:

Servus!

Ich soll diese Funktion ableiten. Nach dem Anwenden der Quotientenregel, bin ich nun auf das hier gekommen:

\( \frac{2e^(2x)·(-xcos^2(x)sin(x^2) + cos^2(x)cos(x^2) + cos(x^2)cos(x)sin(x))}{cos^4(x)} \)

Als Ergebnis soll dann folgendes heraus kommen:

\( \frac{2e^(2x)}{cos^2(x)} \) · (-xsin(x^2) + (tan(x) + 1) · cos(x^2))

Ist mein Zwischenergebnis falsch? Oder fehlt mir nur noch, ein Additionstheorem anzuwenden?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{\cos(x^2)}{\cos^2x}\,e^{2x}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\cos(x^2)\,e^{2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\cdot\cos(x^2)\,e^{2x}$$$$\phantom{f(x)}=\underbrace{(1+\tan^2x)}_{=u}\cdot\underbrace{\cos(x^2)}_{=v}\cdot\underbrace{e^{2x}}_{=w}$$

$$f'(x)=\underbrace{2\tan x\cdot(1+\tan^2x)}_{=u'}\underbrace{\cos(x^2)}_{=v}\underbrace{e^2x}_{=w}+\underbrace{(1+\tan^{2x})}_{=u}\underbrace{(-2x\sin(x^2)}_{=v'}\underbrace{e^{2x}}_{=w}$$$$\phantom{f'(x)}=+\underbrace{(1+\tan^2x)}_{=u}\underbrace{\cos(x^2)}_{=v}\underbrace{2e^{2x}}_{=w'}$$$$\phantom{f'(x)}=\underbrace{(1+\tan^2x)}_{=\frac{1}{\cos^2x}}2e^{2x}\left[\tan x\cos(x^2)-x\sin(x^2)+\cos(x^2)\right]$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{2e^{2x}}{\cos^2x}\left[-x\sin(x^2)+\tan x\cos(x^2)\cos(x^2)\right]$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{2e^{2x}}{\cos^2x}\left[-x\sin(x^2)+\left(\tan x+1\right)\cos(x^2)\right]$$

Answer 2

Das Ergebnis sollte sein

ê^(2·x)·(COS(x^2)·(2/COS(x)^2 + 2·SIN(x)/COS(x)^3) - 2·x·SIN(x^2)/COS(x)^2)

Comments

Ok, danke! Also auf dieses Ergebnis komme ich auch.

Aber wie kann ich dann noch auf die angegebene Lösung kommen?

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Unter den trigonometrischen Formeln gibt es sicher welche, die geeignet sind, hier weitere Umformungen vorzuhehmen (die Additionstheoreme könnten möglicherweise dazu gehören). An dieser Sisyphusarbeit möchte ich mich aber nicht beteiligen.

Answer 3

Eine seriöse Antwort auf die Frage wäre gewesen:

Wenn in deiner Lösung cos⁴x im Nenner steht und in der Musterlösung nur cos²x, dann müsstest du in deiner Lösung im Zähler aus

\((-xcos^2(x)sin(x^2) + cos^2(x)cos(x^2) + cos(x^2)cos(x)sin(x))\)

den Faktor cos²x (zum Zwecke des anschließenden Kürzens) ausklammern können.

Versuche es!