Ist folgende Rechnung korrekt? (e-Funktionen)

Question

0 = 3 + 10/e^x - e^x     | + e^x

e^x = 3 + 10/e^x          | * e^x

e^2x = 13                     | ln

2x = ln(13)                   | :2

x = ln(13)/2

= 1,2824

Answer 1

Klare Antwort: Nein. Wenn du zur Probe mal deine Lösung in den Term auf der rechten Seite einsetzt, kommt da 0 raus? Der Fehler ist: Wenn man eine Summe mit einem Faktor multipliziert, muss man entweder Klammern um die Summe setzen oder jeden Summanden mit dem Faktor multiplizieren.

Answer 2

Aloha :)

$$\left.e^x=3+\frac{10}{e^x}\quad\right|\;\cdot e^x$$$$\left.e^{2x}=3e^x+10\quad\right|\;-3e^x-10$$$$\left.e^{2x}-3e^x-10=0\quad\right|\;\text{als quadratische Gleichung schreiben}$$$$\left.\left(e^x\right)^2-3\left(e^x\right)-10=0\quad\right|\;\text{pq-Formel}$$$$e^x=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+10}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{3}{2}\pm\frac{7}{2}$$Da die e-Funktion immer \(>0\) ist, scheidet die Lösung mit dem Minuszeichen aus, bleibt also:$$\left.e^x=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$x=\ln(5)$$