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Eigenschaften einer Äquivalenzrelation nachweisen

Aufgabe:

$$ a \sim b \Longrightarrow a b \geq 0   \quad a, b \in \mathbb{Z} $$

Problem/Ansatz:

Das die Reflexivität auf den ganzen Zahlen gegeben ist mir klar da, doch bei der Symmetrie habe ich Probleme, denn

$$ \begin{aligned} a b & \geq 0 \\ -1 \cdot 1 & \geq 0 \\ -1 & \geq 0 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} b a & \geq 0 \\ 1 \cdot -1 & \geq 0 \\ -1 & \geq 0 \end{aligned} $$

theoretisch ist es ja bei * nicht möglich ein Gegenbeispiel für die Symmetrie zu finden,

doch ist die Relation ja durch eine Implikation beschrieben womit ja >= 0 notwendig wäre für eine wahr Aussage.

Ist dies nun trotzdem symmetrisch oder nicht ?

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1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

a=-1 und b=1 sind nicht in Relation, deshalb brauchst du das hier gar nicht ansetzen.

Der Naxhweis ist doch trivial, wenn

ab>=0, dann ist auch ba>=0 aufgrund des Kommutativgesetzes.

Avatar von 37 k

Verstehe noch nicht so ganz warum a = -1 und b=1 nicht in Relation stehen können, da ich ich doch beliebige Werte aus Z für a und b nehmen kann oder nicht ?

Hab es jetzt glaube ich doch verstanden a und b stehen nur in relation wenn sie größer als 0 sind richtig ?

$$a \sim b \Longrightarrow a b \geq 0  \quad a, b \in \mathbb{Z}$$

bedeutet: a und b stehen in Relation, genau dann k, wenn ihr Produkt größer als 0 ist. Es ist aber (-1)*1 =-1 <0, also

stehen die beiden Elemente in keiner Relation zueinander.

ok danke, eine Frage hätte ich aber noch was genau bedeutet ⟹ in diesem Zusammenhang mit Relationen kenne eigentlich nur ⇔ bei Relationen

Ich kenne es auch nur mit dem Doppelpfeil. Eigentlich stellt die Angabe einer Relation ja eine Definition dar, daher passt der Doppelpfeil eher.

Ok trotzdem vielen Dank für deine schnelle Antwort.

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