Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation hat folgende Relation: R1 = {(X,Y); X,Y ∈ P(M), X ∩ Y ≠ ∅}

Question

Aufgabe:

Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation hat folgende Relation:

M ist eine endliche Menge und P(M) ihre Potenzmenge.

R₁ = {(X,Y); X,Y ∈ P(M), X ∩ Y ≠ ∅}

Problem/Ansatz:

Eine Potenzmenge sieht ja beispielhaft von der Menge M = {1,2} wie folgt aus

P(M) = {(∅), (1), (2), (1,2)}

Reflexiv?
Zu jeder Zahl von M, gibt es ein Pärchen (x,x)
Also würde ich sagen, dass P(M) nicht reflexiv ist, weil es bei der Potenzmenge keine Pärchen gibt, z.B. gibt es kein (1,1)

Symmetrisch?
Da bin ich mir unsicher
Symmetrisch heißt, dass wenn (x,y ∈ R, dann muss auch (y,x) ∈ R sein, bei der Potenzmenge gibt es aber immer nur ein Pärchen, also es gibt (1,2), aber kein (2,1) also würde ich sagen, die Relation ist auch nicht symmetrisch

Transitiv?
Also die Sache mit der Potenzmenge bringt mich total aus dem Konzept :D meine Begründung zur Transitivität will ich garnicht aufschreiben

Für mich hat das alles überhaupt nichts mit einer Äquivalenzrelation zu tun, aber ich liege ziemlich sicher falsch

Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

reflexiv hast du ja schon gut erkannt.

Prüfen, was die Def. von Reflexiv sagt:

Für jedes x∈M ist (x,x)∈R hier also

Für jedes x∈P(M) ist (x,x)∈R1.

Da für alle endlichen Mengen M  gilt ∅∈P(M).

Müsste  gelten   (∅,∅)∈R1,

Tut es aber nicht, da ∅∩∅=∅ also R1 nicht reflexiv.

symmetrisch heißt doch (X,Y) ∈ R1 ==>   (Y,X) ∈ R1

Das ist so; denn

(X,Y) ∈ R1 ==> X∩Y≠ ∅  ==> Y∩X≠ ∅  ==>    (Y,X) ∈ R1.

transitiv: Seien also X,Y,Z ∈P(M) und

(X,Y) ∈ R1 und (Y,Z) ∈ R1.

==>   X∩Y≠ ∅  und  Y∩Z≠ ∅

D,h, X und Y haben (mindestens) ein gemeinsames El.

und Y und Z haben (mindestens) ein gemeinsames El.

Wenn M mehr als ein Element hat, muss das aber wohl nicht

so sein, wie {a} {a,b} {b}  zeigt. Also R1 dann nicht transitiv.