Untersuchung ob Äquivalenzrelation Eigenschaften

Question

Es müsste eine ÄR sein, jedoch fehlt mir die Begründung bei der Transitivität.

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(1,0), (0,-1) ∈ R, (1,-1) ∉ R.

Answer 1

Reflexiv: Jedes Elements steht zu sich selbst in Relation.

Symmetrisch: Wenn ein Element in Relation zu einem anderen steht, so steht das andere Element auch in Relation zu dem Ersten.

Transitiv: Wenn ein Element in Relation zu einem anderen steht und das andere Element in Relation zu einem weitern Element steht, so steht das erste Element auch in Relation zu dem Letzten.

Wir haben die Relation $$R\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mid a\cdot b>0\}$$

 - Um zu prüfen die Relation reflexiv ist, müssen wir prüfen ob $$\forall a \in \mathbb{Z} \ : \ (a,a)\in R$$

 - Um zu prüfen die Relation symmetrisch ist, müssen wir prüfen ob $$\forall a,b\in \mathbb{Z} \ : \ (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R$$

 - Um zu prüfen die Relation transitiv ist, müssen wir prüfen ob $$\forall a,b,c\in \mathbb{Z} \ : \ (a,b)\in R \text{ und } (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R$$