Bestimmen Sie, ob die Relation ℜ eine Äquivalenzrelation ist und ob sie eine Ordnungsrelation ist.

Question

Seien ∼₁ und ∼₂ zwei Äquivalenzrelationen und ℜ₁ und ℜ₂ zwei Ordnungsrelationen auf einer Menge X.
Wir definieren die Relation ℜ dadurch, dass für alle x, y ∈ X die Beziehung xℜy genau dann erfüllt sei,
wenn
(a) (x ∼₁ y) ∧ (x ∼₂ y),
(b) (x ∼₁ y) ∨ (x ∼₂ y),
(c) (xR₁y) ∧ (xR₂y),
(d) (xR₁y) ∨ (xR₂y),
(e) (x ∼₁ y) ∧ (xR₁y) beziehungsweise
(f) (x ∼₁ y) ∨ (xR₁y)
gilt.
Bestimmen Sie, ob die Relation ℜ eine Äquivalenzrelation ist und ob sie eine Ordnungsrelation ist.

Danke im Voraus

Answer 1

Das sind ja einige Aufgaben. Du musst halt immer

die Bedingungen prüfen. Etwa so ( bei a)

xℜy genau dann erfüllt, wenn (x ∼₁ y) ∧ (x ∼₂ y).

Dann ist es jedenfalls auch eine Äquivalenzrelation, denn

Für alle x ∈ X gilt :   xℜx

Denn (x ∼1 x) ∧ (x ∼2 x) weil beides Äquivalenzrelationen sind.

und    xℜy  ==>   yℜx

Denn xℜy

==>  (x ∼1 y) ∧ (x ∼2 y)

Da beides Äquivalenzrelationen sind folgt

(xý ∼1 x) ∧ (y ∼2 x)

==>   yℜx

Transitivität bekommst du so ähnlich auch hin.