Damit eine Relation Äquivalenzrelation ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein:
I) Die Relation muss symmetrisch sein: Wenn x~y, dann muss auch y~x gelten.
II) Die Relation muss reflexiv sein: Für alle x muss x~x gelten.
III) Die Relation muss transitiv sein: Wenn x~y und y~z gilt, dann muss auch x~z gelten.
Ad I): Es gelte (a, b) ~ (c, d). Das bedeutet, dass ad=bc eine wahre Aussage ist.
Zu zeigen ist, dass dann auch (c, d) ~ (a, b) gilt. Das ist nach der Definition der Relation äquivalent zu cb = da, was offensichtlich erfüllt ist.
Ad II): Zu zeigen ist, dass (a, b) ~ (a, b) für alle a, b ∈ ℤ gilt:
Das ist äquivalent zu ab = ba, was offensichtlich eine wahre Aussage ist.
Ad III): Es gelte (a, b) ~ (c, d) und (c, d) ~ (e, f). Zu zeigen ist, dass dann auch (a, b)~(e, f) gilt.
Aus den beiden Relationen folgt zunächst die Richtigkeit der folgenden Gleichungen:
ad = bc (1)
und
cf = de (2)
Zu zeigen ist:
af = be
Dann multiplizieren wir an (1) erstmal ein f ran. Dann folgt:
adf = bcf
Gemäß (2) also:
adf = bde
Jetzt multiplizieren wir an diese Gleichung noch ein c, damit folgt:
adfc = bdec
Nach dem Kommutativgesetz folgt nun:
(af)*(dc) = (be)*(cd)
Subtrahiert man nun auf beiden Seiten (be)*(cd) erhält man:
(af)*(cd) - (be)*(cd) = 0
Nach dem Assoziativgesetz:
(af - be)*(cd) = 0
Da die Definitionsmenge ℤ\{0} ist, folgt daraus, dass
af-be = 0
also
af = be
gilt, was zu zeigen war.
Es sind also alle drei Bedingungen erfüllt, die Relation ist eine Äquivalenzrelation.
