Question

Eigenschaften einer Äquivalenzrelation nachweisen

Aufgabe:

$$ a \sim b \Longrightarrow a b \geq 0   \quad a, b \in \mathbb{Z} $$

Problem/Ansatz:

Das die Reflexivität auf den ganzen Zahlen gegeben ist mir klar da, doch bei der Symmetrie habe ich Probleme, denn

$$ \begin{aligned} a b & \geq 0 \\ -1 \cdot 1 & \geq 0 \\ -1 & \geq 0 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} b a & \geq 0 \\ 1 \cdot -1 & \geq 0 \\ -1 & \geq 0 \end{aligned} $$

theoretisch ist es ja bei * nicht möglich ein Gegenbeispiel für die Symmetrie zu finden,

doch ist die Relation ja durch eine Implikation beschrieben womit ja >= 0 notwendig wäre für eine wahr Aussage.

Ist dies nun trotzdem symmetrisch oder nicht ?

Answer 1

Hallo,

a=-1 und b=1 sind nicht in Relation, deshalb brauchst du das hier gar nicht ansetzen.

Der Naxhweis ist doch trivial, wenn

ab>=0, dann ist auch ba>=0 aufgrund des Kommutativgesetzes.

Comments

Verstehe noch nicht so ganz warum a = -1 und b=1 nicht in Relation stehen können, da ich ich doch beliebige Werte aus Z für a und b nehmen kann oder nicht ?

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Hab es jetzt glaube ich doch verstanden a und b stehen nur in relation wenn sie größer als 0 sind richtig ?

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$$a \sim b \Longrightarrow a b \geq 0  \quad a, b \in \mathbb{Z}$$

bedeutet: a und b stehen in Relation, genau dann k, wenn ihr Produkt größer als 0 ist. Es ist aber (-1)*1 =-1 <0, also

stehen die beiden Elemente in keiner Relation zueinander.

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ok danke, eine Frage hätte ich aber noch was genau bedeutet ⟹ in diesem Zusammenhang mit Relationen kenne eigentlich nur ⇔ bei Relationen

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Ich kenne es auch nur mit dem Doppelpfeil. Eigentlich stellt die Angabe einer Relation ja eine Definition dar, daher passt der Doppelpfeil eher.

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Ok trotzdem vielen Dank für deine schnelle Antwort.