Differentialgleichung einer Formel des ungestörten Zerfalls

Question

ich steh bei der folgenden Aufgabe leider komplett auf dem Schlauch. Ich weiß was in der Theorie eine Differentialgleichung ist, aber ich komme einfach nicht weiter. Ich hoffe jemand kann mir helfen! :-)

Aufgabe:

Eine Substanz zerfalle spontan, und zwar zerfalle pro Zeiteinheit von der Masse M(t) ein AnteilΔM, der proportional zur gerade vorhandenen Masse M(t) sowie dem Zeitintervall ist, und dabei natürlich negativ (Zerfall!). Dann gilt also:

ΔM = -k * M(t) * Δt (k > 0)

oder

\( \frac{ΔM(t)}{Δt} \) = -k * M(t)

Dies führt im Grenzfall Δt -> 0 zu einer sogenannten Differentialgleichung, einer Beziehung zwischen der Funktion M(t) und ihrer ersten Ableitung M'(t).

Zeigen Sie, dass die Funktion M(t) = A * exp(b*t) diese Gleichung erfüllt, wenn b einen gewissen Wert annimmt. Welcher Wert ist das?

Welchen Wert nimmt A wohl an?

Answer 1

Die Dgl. lautet $$ M'(t) = -k M(t)  $$ wenn $$ M(t) = A e^{b t} $$ gilt, folgt \(  M'(t) = b A e^{b t} = b M(t) \).

Also muss \( b = -k \) gelten. Weiter gilt \( M(0) = A \)

Also ist die Lösung

$$ M(t) = M(0) e^{-k t }  $$