Text/ Sachaufgaben zu Gleichungen

Question

Hallo, ich bin ganz neu hier weil ich folgendes Problem habe. Bisher konnte ich meiner Tochter ganz gut bei ihren Hausaufgaben helfen. Aber jetzt weiß ich nicht weiter bzw. hab es vergessen. Mein Problem bei diesen Aufgaben ist das ich die Gleichungen nicht aufstellen kann. Sobald ich diese habe kann ich mit Hilfe der Verfahren die ich mir aus dem Netz wieder angeeignet habe die Aufgaben auch lösen. Daher wäre meine bitte an Sie mir das eventuell an diesen 3 Kurzen Beispielen zu erklären weil das Rechnen traue ich mir dann zu. Ich schäme mich auch ein wenig...

Aber mal zu den Aufgaben.
1.Von zwei Strecken ist die eine 24cm kürzer als die andere, während sie zusammen 44cm lang sind. Bestimme ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die kürzere Strecke und dessen einer  einer Schenkel die längere Strecke ist.
Meine Überlegung zu 1)
Ich brauche ja immer 2 Gleichungen für diese Art der Aufgaben damit ich die beiden unbekannten ausrechnen kann.
Meine erste hab mir so hergeleitet.
I) x+y=44

Weil zwei Strecken sollen zusammen 44cm lang sein. x(Strecke 1) und y(Strecke 2)
Jetzt muss ich ja noch sicherlich irgendwas mit den 24 cm machen allerdings verwirrt mich der zweite Satz der Aufgabenstellung. Ich hab als zweite Gleichung folgendes aufgestellt aber ich meine das ist nicht richtig! Denn da ist die Seiten nicht 24cm kürzer als die andere. Desweiteren kann ich es mir gerade auch vorstellen weil bei diesem Dreieck sollten doch die beiden seiten gleichlang sein sonst wird es doch kein dreieck oder?

aber hier meine Idee
II) x-24=y


Das ist meine erste Aufgabe.

2) Gibt es Rechtecke mit folgenden Eigenschaften
a) Der Umfang beträgt 20cm verkürzt man die längere um 5 cm so beträgt der Umfang nur noch 10cm.
Ich hab folgendes gemacht. Als erstes Habe ich mir die Formel für den Umfang rausgesucht.
U= 2(a+b)
Daraus hab ich nun folgende Gleichungen aufgestellt.
a)
I) 20=2(a+b)II) 10=2(a-5)+2b
Kann das so richtig sein?
3) Verlängert man bei einem rechtwinkligen Dreieck die Katheten um je 2 cm, vergrößert sich der Flächeninhalt um 14cm²  . Verkürzt man sie dagege um je 2 cm, so mindert sich der Flächeninhaltum 10cm². Berechne die Länge aller Seiten des Dreiecks.
Die Formel hab ich gefunden. A=a*b/2
Daraus ergeben sich für mich folgende Gleichungen. I) 14=(a+2)*(b+2)/2 was mir aber schon ein wenig komisch vorkommt weil ich dann ja einen "ab" ausdruck bekomme.
II) 10= (a-2)*(b-2)/2 wäre meine 2te gleichung

Das soll es erstmal gewesen sein.
Ich denke schon das ich mit Hilfe der Verfahren einsetz, Gleichsetz oder Additionsverfahren die Gleichungen selber lösen kann. Aber mir geht es wie gesagt wirklich eher darum das ich meiner Tochter erklären kann wie man auf diese überhaupt erst kommt.
da ich ein ganzes Aufgabenblatt mit solchen Aufgaben am Wochenende nun mit ihr bearbeiten darf.

VIelen Dank im voraus
Schönes Wochenende und Liebe Grüße
Olaf

Comments

... da ich ein ganzes Aufgabenblatt mit solchen Aufgaben am Wochenende nun mit ihr bearbeiten darf.

Dann ist es lobenswert, dass Du damit schon heute am Freitag damit anfängst und nicht erst Sonntag Abend. Dann ist hier genug los ;-)

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vielen vielen dank an alle ich muss das jetzt erstmal alles in ruhe durchlesen und sammeln. aber scheinbar hab ich gar nicht soviel falsch gemacht bzw. falsch überlegt.

danke ich denke ich werde nun öfter mal auf die tolle seite zugreifen wenn ich mal nciht weiter weiß.

Answer 1

Von zwei Strecken ist die eine 24cm kürzer als die andere, während sie zusammen 44cm lang sind. Bestimme ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die kürzere Strecke und dessen einer  einer Schenkel die längere Strecke ist.

a = b - 24
a + b = 44

Löse das Gleichungssystem.

Ich komme auf: a = 10 ∧ b = 34

Also ist die Basis 10 cm lang und die beiden Schenkel 34 cm lang.

Lass dir eventuell durch Photomath helfen.

Comments

super vielen dank das hilft mir bei der ersten aufgabe dann ja ungemein. das heißt ich war ja schon auf dem richtigen weg. Könntet ihr mir auch zur aufgabe 2 und 3 noch was schreiben?

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Löse das Gleichungssystem zur zweiten Aufgabe.

Wundere dich nicht über das Ergebnis. Das System hat unendlich viele Lösungen, weil es unendlich viele Rechtecke mit der geforderten Eigenschaft gibt.

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sprich auch da sind meine Gleichungen richtig aufgestellt? wie schaut es bei aufgabe 3 aus?

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2) Gibt es Rechtecke mit folgenden Eigenschaften

a) Der Umfang beträgt 20 cm verkürzt man die längere um 5 cm so beträgt der Umfang nur noch 10 cm.

a > b

2a + 2b = 20
2(a - 5) + 2b = 10 --> 2a - 10 + 2b = 10 → 2a + 2b = 20

Man sieht das die zweite Bedingung auf das gleiche hinaus läuft

Daher muss für die Rechtecke gelten

2a + 2b = 20 --> a = 10 - b mit b ∈ ]0 ; 5[

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3) Verlängert man bei einem rechtwinkligen Dreieck die Katheten um je 2 cm, vergrößert sich der Flächeninhalt um 14 cm²  . Verkürzt man sie dagegen um je 2 cm, so mindert sich der Flächeninhaltum 10 cm². Berechne die Länge aller Seiten des Dreiecks.

1/2·(a + 2)·(b + 2) = 1/2·a·b + 14
1/2·(a - 2)·(b - 2) = 1/2·a·b - 10

Das Gleichungssystem führt auf die Lösung a + b = 12

Also

a = 12 - b mit b ∈ ]0 ; 6] wenn a ≥ b gelten soll.

Answer 2

Hallo Olaf,

Jetzt muss ich ja noch sicherlich irgendwas mit den 24 cm machen allerdings verwirrt mich der zweite Satz der Aufgabenstellung.

Der zweite Satz ist:

Bestimme ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die kürzere Strecke und dessen einer  einer Schenkel die längere Strecke ist.

Das hat mit den 24cm erst mal nichts zu tun.

Ich hab als zweite Gleichung folgendes aufgestellt aber ich meine das ist nicht richtig! Denn da ist die Seiten nicht 24cm kürzer als die andere

Du schreibst: II \(x-24=y\), das ist völlig korrekt, wenn \(x\) die längere und \(y\) die kürzere Seite ist. Ziehst Du von der längeren Seite \(x\) 24cm ab, so erhältst Du die Länge der kürzeren Seite \(y\).

Desweiteren kann ich es mir gerade auch vorstellen weil bei diesem Dreieck sollten doch die beiden seiten gleichlang sein sonst wird es doch kein dreieck oder?

doch sicher. Das Dreieck sieht so aus:

Wenn Du das \(y=x-24\) in die erste Gleichung einsetzt, so erhältst Du $$\begin{aligned}x + y &= 44 \\ x + \underbrace{x-24}_{=y} &= 44 \\ 2x - 24 &= 44 && \left|\, +24 \right. \\ 2x &= 68 && \left|\, \div 2\right. \\ x &= 34\end{aligned}$$also ist die längere Seite \(x=34\)cm lang.

Noch ein Tipp: versuche immer eine Zeichnung zu machen. Auch wenn es nur eine ungefähre Skizze ist. Schau Dir das Bild oben an. Wenn Du von \(B\) über \(A\) nach \(C\) läufst, so läufst Du  über beide Strecken. also insgesamt 44cm. Die Strecke von \(E\) nach \(C\) sind 24cm Unterschied. Dann sind es von \(E\) nach \(B\) noch 44cm-24cm=20cm. Und das ist zweimal die kurze Strecke (rot). Also ist die kurze Strecke 10cm lang.

Noch ein Tipp: bitte hier im Forum immer nur eine Aufgabe pro Frage ...

2) Gibt es Rechtecke mit folgenden Eigenschaften
a) Der Umfang beträgt 20cm verkürzt man die längere um 5 cm so beträgt der Umfang nur noch 10cm.

Ja - das ist logisch, da 2 mal 5cm = 10cm sind. Dazu müssen die zu verkürzenden Seiten \(a\) länger als 5cm sein und demzufolge bleibt bei den beiden anderen der Rest der 20cm.

10=2(a-5)+2b

stimmt. Löse das nach \(b\) auf: \(b = 5 - (a-5) = 10-a\) Wenn also z.B. a=6cm (> 5cm) und b=4cm ist, ist alles gut. Ja - es gibt solche Rechtecke.  Auch hier hilft eine Skizze.

3 )

I) 14=(a+2)*(b+2)/2

Das ist falsch. Die 14qcm sind nur die Differenz. D.h. man muss noch die ursprüngliche Fläche \(A\) abziehen. Außerdem wird nur eine Seite verlängert und nicht zwei. $$\begin{aligned} \frac 12 (a+2)b - \frac 12 ab &= 14 && \left|\, \cdot 2 \right.\\ ab + 2b - ab &= 28 \\ 2b &= 28 &&\left| \, \div 2\right. \\ b &= 14 \\ \end{aligned}$$Und dann siehst Du auch, dass das \(ab\) aus der Gleichung raus fällt. Versuche den Rest mal alleine. Melde Dich bitte, wenn Du noch Fragen hast.

Comments

Ansonsten fehlt wahrscheinlich noch eine Angabe zum Rechteck.

Dass glaube ich nicht. Die Aufgabe lautete

2) Gibt es Rechtecke mit folgenden Eigenschaften

Es gibt solche Rechtecke. Die Summe der Seitenlängen muss 10cm sein, und es dürfen nicht beide Seiten 5cm lang sein, sonst würde das gekürzte Rechteck zu einer Doppellinie entarten.

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@abakus: Danke für den Hinweis. Ich habe das in der Antwort korrigiert.

Answer 3

I) x+y=44
II) x-24=y

Diese Überlegungen sind völlig korrekt.

Wenn du jetzt in der ersten Gleichung y durch das (x-24) aus der zweiten Gleichung ersetzt, entsteht

x+(x-24)=44

2x-24=44

2x=68

x=34

Einsetzen von x=34 in eine der gegebenen Gleichung liefert y=10.

Überzeuge dich zunächst, dass diese Längen BEIDE Bedingungen der Aufgabe erfüllen.

Nun zum Dreieck: Es soll nur gleichschenklig (nicht gleichseitig) sein.

Es hat also entweder zwei Seiten der Länge 10cm und eine Seite der Länge 34cm (geht das- abgesehen davon, dass die Aufgabestellung diesen Fall von vornherein ausschließt?) oder eine Seite der Länge 10cm und zwei Seiten der Länge 34cm (geht das?).

Comments

Zitat:

... dessen Basis die kürzere Strecke und dessen einer Schenkel die längere Strecke ist.

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...Eine Einschränkung, die aus einer schönen Aufgabe eine langweilige Aufgabe macht.

Habe aber selbst schon gemerkt und entsprechend angepasst, trotzdem danke für den Hinweis.

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Damit die drei Seitenlängen

a ≤ b ≤ c

ein Dreieck bilden muss immer gelten

a + b > c

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@abacus

Das Dreieck soll rechtwinklig sein.

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Wir haben über Aufgabe 1 geredet.

Answer 4

Meine erste hab mir so hergeleitet.
(I) x+y=44

Die zweite ist (II) x+24=y

(I) 20=2(a+b) (II) 10=2(a-5)+2b
Kann das so richtig sein?   Ja!

Daraus ergeben sich für mich folgende Gleichungen. I) 14=(a+2)*(b+2)/2 was mir aber schon ein wenig komisch vorkommt weil ich dann ja einen "ab" ausdruck bekomme.
II) 10= (a-2)*(b-2)/2 wäre meine 2te gleichung. Nein:

(I) a·b/2+14=(a+2)·(b+2)/2

(II) a·b/2-10=(a-2)·(b-2)/2

Answer 5

Hallo

 man muss nicht unbedingt 2 Gleichungen aufstellen-  aber deine erste Aufgabe ist so richtig. für deine Tochter aber vielleicht: eine Strecke (die längere ist x, dann ist die kürzere x-24 und zusammen sind sie x+(x-24)=44.

auch die zweite hast du richtig, aber wenn deine T noch nicht mit 2 Gleichungen umgehen kann_ eine Seite x, die andere  U/2-x also x und 10-x

 dann x um 5 verkürzt x-5 also x-5+x=5

(eigentlich kann man gleich sehen  sehen, dass das kein Rechteck mehr gibt!)

in 3 hast du nen Fehler_ Fläche F= a*b/2  ist richtig, aber die neue Fläche ist nicht 14cm^2 sondern F+14cm^2  also (a+2)*(b+2)/2=a*b/2+14

und ebenso (a-2)*(b-2)/2=a*b/2-10

Deiner Tochter sollten Skizzen der Aufgaben helfen, die müssen ja noch nicht die richtigen Maße haben,

Gruß lul