Ungewöhnliche Notation bei Partieller Ableitung?

Question

ich habe folgenden Satz aus einem Vorlesungsskript Johannes Kepler Universität in Linz:

Hat \(f: D\to \mathbb{R}\) mit einer offenen Menge \(D\subset \mathbb{R}^2\) in einer Umgebung von \((x_0,y_0)\in D\) alle partiellen Ableitungen bis zur \(n\)-ten Ordnung, so heißt das Polynom:$$T_n(x,y)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}\right)^nf(x_0,y_0)$$ das Taylorpolynom \(n\)-ten Grades (oder der Ordnung \(n\)) der Funktion \(f\) im Entwicklungspunkt \((x_0,y_0)\)

Ich habe mal versucht, die Formel auf \(f(x,y)=x^2+y^2\) anzuwenden und das Taylorpolynom ersten Grades in \((0,1)\) zu finden.

Was bedeutet aber die Notation \((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}\)? Heißt das, dass ich \(\frac{\partial f}{\partial x}=2x\) mit \(x=0\) auswerte? Ich komme irgendwie mit verschiedenen Lesarten nicht auf \(T_1(y)=2y-1\)

Answer 1

Hallo,

k und n sind hier scheinbar falsch eingetragen, die Potenz sollte zur k-ten Potenz sein und die Reihe ist nur endlich bis n-ter Ordnung. Für das Taylorpolynom in erster Ordnung ergäbe sich mit obiger Schreibweise

$$T_1(x,y)=\left((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}|_{x=x_0}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}|_{y=y_0}\right)(x^2+y^2)=\left(x\frac{\partial x^2}{\partial x}|_{x=0}+(y-1)\frac{\partial y^2}{\partial y}|_{y=1}\right)=2(y-1)$$

Auch deine Musterlösung ist falsch.

Comments

Hallo,

die Formel habe ich hier her: https://www.geogebra.org/m/chMpCQz2

Laut WolframAlpha gilt: https://www.wolframalpha.com/input/?i=tangent+plane+x%5E2%2By%5E2+at+%280%2C1%29

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Zur Musterlösung: ich habe nur den Summanden k=1 berechnet, für k=0 ergibt sich +1 , damit kommt man auf 2y-1. Letzteres bestätigt meine Vermutung: die Potenz muss hoch k sein, wenn da wirklich n stehen würde dann wären ja die Summanden für k=0 und k=1 gleich bis auf den Faktor 1/k!.

Vermutlich ein Schreibfehler im Skript.

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Du meinst es müsse \(T_n(x,y)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}\right)^kf(x_0,y_0)\) heißen?

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Ja, so dachte ich mir das.

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Ich werde mal ein paar Testläufe machen, danke.

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Was mir bei dir gerade noch aufällt ist, dass du nicht \(f(x_0,y_0)\) sondern \(f(x,y)=x^2+y^2\) geschrieben hast.

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Die Ableitungen müssen alle an der Stelle (x_0,y_0) ausgewertet werden.

Das soll die Schreibweise

$$ \frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$$ vermutlich implizieren, ich mag die Schreibweise aber nicht, daher habe ich es zu

$$\frac{\partial}{\partial x}|_{x=x_0} f(x,y)$$ geändert.