Konvergenzradius einer Potenzreihe mit Binomialkoeffizient bestimmen

Question

Aufgabe:

Wie kann ich den Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{2n}{n}} \)) * zⁿ bestimmen, wobei das kein Bruch ist, sondern (2n über n), also der Binomialkoeffizient.

Ich weiß gar nicht, wie ich da ran gehen soll.

Vielen Dank im Voraus!

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Schau mal hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mittlerer_Binomialkoeffizient

Man kann abschätzen:

(2n über n)<= 4^n

Also hast du schonmal R=1/4 als Limit.

Answer 1

Hallo,

ich wüsste nicht, warum man abschätzen sollte. Es gilt nach Definition des Binomialkoeffzients:$$\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$$ Also gilt mit \(a_n:=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\), dass:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left | \frac{a_n}{a_{n+1}}\right |=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}{\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n)!((n+1)!)^2}{(n!)^2(2n+2)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{4n+2}=\frac{1}{4}$$

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Vielen Dank! Ich habe ganz vergessen, dass man das umschreiben kann.