Alle möglichen Steigungen zu einer bestimmten Gerade ermitteln.

Question

Die Funktion f(x) = 0,025*x³ - 0,75*x² + 7,2*x - 20,375 hat einen Wendepunkt W(10| 1,625).

Betrachtet werden Geraden, die durch den Wendepunkt W verlaufen, eine negative Steigung haben und keinen weiteren gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von f aufweisen.

Ermittle alle möglichen Steigungen, die diese Gerade haben könnte.

Ich konnte leider nur auf -0,3 kommen, indem ich die Stelle 10 in der ersten Ableitung eingesetzt habe...

Habt ihr Ideen wie man die restlichen Steigungen bestimmen kann?

Answer 1

Ich konnte leider nur auf -0,3 kommen, indem ich die Stelle 10 in der ersten Ableitung eingesetzt habe... Habt ihr Ideen wie man die restlichen Steigungen bestimmen kann?

Das ist doch schon sehr gut, denn \(f'(10)\) ist die Steigung der Wendetangente. Mache dir eine grobe Skizze von unter Berücksichtigung möglicher Globalverläufe, nimm die Wendetangente hinzu und versuche sie zu drehen.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe.

Mir ist es graphisch klar, dass -0,3 und kleinere Steigung für diese Gerade zulässig sind. Allerdings weiß ich nicht genau wie man dies rechnerrisch begründen kann..

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Hm... eigentlich finde ich meine Ansatz viel schöner als irgendwelche rechnerischen Alternativen. Ein rechnerischer Ansatz besteht darin, die Gleichung $$f(x) = m\cdot(x-10)+1.625$$ auf eindeutige Lösbarkeit in Abhängigkeit von m zu untersuchen. Aber das hattest du ja schon.

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Wegen \(m\le f'(10)=-0.3\) könnte man dazu die Ungleichung $$\dfrac{f(x)-1.625}{x-10}\le -0.3$$ heranziehen.

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Vielen Dank!

Answer 2

Alles im grünen Bereich erfüllt die Anforderungen:

Answer 3

Wenn du einen GTR zum Experimentieren hast (oder GeoGebra oder ähnliche Apps benutzt), kannst du ja mal den Graphen und die Wendetangente darstellen. Und dann die Steigung variieren. Du wirst feststellen: Bei größeren Steigungen (wie -0,2 oder -0,1 oder 0 und erst recht bei positiven Steigungen) hat die Gerade immer drei Punkte mit dem Graphen gemeinsam. Und bei Steigungen kleiner oder gleich -0,3 ist der einzige gemeinsame Punkt der Wendepunkt. Nun musst du dir noch überlegen, wie du diese Beobachtung rechnerisch nachweisen kannst. Da gibt es viele sinnvolle Ansätze. Ein Vorschlag wäre: Stelle die Gleichung einer solchen Gerade mit dem Parameter m für die Steigung auf, bilde die Differenzfunktion und untersuche diese auf Monotonie.

Comments

Hast du vielleicht andere Vorschläge wie man auf das Ergebnis rechnerisch kommt? Denn wir benutzen einen WTR Taschenrechner. 
Für die Bildung der Differenzfunktion habe ich folgendes:

d(x) = f(x) - g(x)

g(x) = m*x +1,625-10m

d(x) = 0,025*x³ - 0,75*x² + 7,2*x - 20,375 - m*x -1,625+10*m

d(x) = 0,025*x³ - 0,75*x²  +  (7,2 - m) * x +10*m - 22

Für die Untersuchung auf Monotonie bildet man die erste Ableitung:

d'(x) = 0,075 x²-1,5x +7,2-m

0,075 x²-1,5x +7,2-m  = 0 

x²-20x+96-13,3 m = 0

x1&2 = 10 ± 2√13,3m

Der Radikand muss ja größer oder gleich null. 
Somit ist 13,3*m ≥ 0.

Weiter bin ich leider nicht gekommen...

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Das ist schon mal alles richtig bis zur vorletzten Zeile. Bei der Normierung der quadratischen Gleichung hast du durch 0,075 geteilt und dabei gerundet. Statt 13,3 m solltest du 40/3 * m benutzen, das ist exakt. Auch ein normaler WTR kommt mit Umrechnungen in Brüche klar. Bei der letzten Zeile stimmt was nicht, aber die brauchst du eigentlich auch nicht. Du brauchst auch, wenn du mal nachdenkst, noch nicht einmal die Werte der Nullstellen von d ', sondern nur die Information, wie viele es gibt. Die Funktion d ' ist quadratisch mit positivem Leitkoeffizienten. Ob diese Funktion Nullstellen hat und wie viele, hängt nur davon ab, wie groß der kleinste Funktionswert ist (graphisch die zweite Koordinate des Scheitelpunktes). Ist dieser Wert negativ oder 0 oder positiv, dann gibt es zwei bzw. eine bzw. keine Nullstelle(n). Bei der Funktion d ' wird der kleinste Wert für x = 10 angenommen, und d' (10) ergibt ... (bitte selbst rechnen). Bei einer oder keiner Nullstelle ist die Funktion d streng monoton steigend, und jeder Wert wird nur ein mal angenommen. Also gibt es auch nur eine Nullstelle (nämlich 10), und dies ist dann die einzige Stelle, an der f und g den gleichen Wert haben. Wenn d' (10) negativ ist, dann hat d' zwei Nullstellen, und die Funktion d ist steigend, fallend, steigend. Der Wert 0 an der Stelle 10 wird nun zwei weitere Male angenommen. Also haben nun die Graphen von f und g insgesamt drei gemeinsame Punkte. 

Answer 4

Die genannte Funktion hat fast überall positive Anstiege, nur zwischen den beiden Extrempunkten ist der Anstieg negativ. Am extremsten negativ ist der Anstieg im Wendepunkt. Überlege was passiert, wenn der Anstieg einer Geraden durch diesen Punkt noch negativer wird.