Wie kann ich nachweisen, dass f nur positive Steigungen besitzt?

Question

Aufgabe:

f(x) =1/3x^3-x^2+3x

Problem/Ansatz:

Wie kann ich nachweisen, dass f nur positive Steigungen besitzt?

Answer 1

Hallo,

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+3x\\ f'(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)

Die Steigung = 1. Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S (1|2), deren y-Werte daher nur positiv sein können.

Gruß, Silvia

Answer 2

f(x) =\( \frac{1}{3} \) x^3-x^2+3x

Nullstellen:

\( \frac{1}{3} \) x^3-x^2+3x=0

x*(\( \frac{1}{3} \)x^2-x+3)=0

x₁=0

x^2-x+3=0      hat keine Nullstellen in ℝ

Extremwerte:

f´(x) = x^2-2x+3

x^2-2x+3=0    keine Lösung in  ℝ

Wendepunkt:

f´´(x) = 2x-2

x₁=1      y₁=  \( \frac{1}{3} \) -1+3=\( \frac{7}{3} \)

f´(0) = 3

f´(1) = 1^2-2+3=2

f´(2) = 2^2-2*2+3=3

Die geringste positive Steigung liegt im Wendepunkt.

Da nur eine Nullstelle und kein Extremwert existieren, hat f(x) nur positive Steigungen.