Mit Drehimpulsoperatoren folgende Kommutatoren berechnen

Question

Ich habe folgende Aufgabe :

Die Drehimpulsoperatoren lauten:

\( \hat{L}_{x}=\frac{\hbar}{i}\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right) \)
\( \hat{L}_{y}=\frac{\hbar}{i}\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right) \)
\( \hat{L}_{z}=\frac{\hbar}{i}\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right) \)

Berechnen Sie folgende Kommutatoren und deuten Sie das Ergebnis :

\( \left[\hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}\right] \)

\( \left[\hat{L}_{y}, \hat{L}_{z}\right] \)

\( \left[\hat{L}_{z}, \hat{L}_{x}\right] \)

Ehrlich gesagt weiß ich gar nicht, wie man die Kommutatoren berechnen soll.

Gibt es da sozusagen ein Rezept, dem ich folgen kann? oder wie kann man die genau berechnen?

ich würde mich drauf sehr freuen, wenn ihr mir das erklären könnt und eine vollständige Lösung schreibt, denn so kann ich eurer Erklärung besser folgen und die besser verstehen :)

Vielen Dank im voraus !

Answer 1

Der Kommutator ist normalerweise definiert als

$$ [a,b] := ab -ba $$

Und da setzt du jetzt einfach die Drehimpulsoperatoren ein:

$$ \begin{aligned}\left[ \hat L_x, \hat L_y\right] &=\left[  \frac{\hbar}{i}\left(y\frac{\partial}{\partial z} - z\frac{\partial}{\partial y} \right),\frac{\hbar}{i}\left(z\frac{\partial}{\partial x} - x\frac{\partial}{\partial z} \right) \right] \\ &= -\hbar^2 \left( (y\partial_z - z\partial_y)(z\partial_x - x\partial_z) - (z\partial_x - x\partial_z)(y\partial_z - z\partial_y) \right) \\ &= -\hbar^2 \left( y\partial_x + yz \partial_z\partial_x - z^2\partial_y\partial_x - xy \partial^2_z + xz \partial_y\partial_z - (yz\partial_x\partial_z-xy\partial^2_z-z^2\partial_x\partial_y+x\partial_y + xz\partial_z\partial_y) \right) \\ &= -\hbar^2(y\partial_x - x\partial_y )\\ &= i\hbar \hat L_z \end{aligned} $$

(beachte in der zweiten auf die dritte Zeile die Produktregel) usw.

Comments

Hallo EmNero

ich bedanke mich erstmals für deine Hilfe

Darf ich fragen wie du auf den ersten Term von der ersten Klammer und auf den vierten Term von der zweiten Klammen gekommen bist? ( also eigentlich was übrig geblieben ist ) Denn ich kam halt auf das Ganze ohne diese 2 Terme aber dann sind alle Terme 0 somit ist der Kommutator = 0 !

Vielen Dank im voraus!

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Du musst hier die Produktregel beachten:

$$ y\partial_z(z\partial_x) = y ( (\partial_z z)\cdot\partial_x + z ( \partial_x \partial_x )) = y\partial_z + yz\partial_z \partial_x $$ $$ -x\partial_z(-z\partial_y) = x((\partial_z z)\cdot\partial_y + z (\partial_z\partial_y)) = x\partial_y + xz\partial_z\partial_y $$

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Dankeschön !

Bei der ersten Zeile deines Kommentares sollte es y(dx) oder?

Ist es egal wie ich die Terme schreibe ? also ob zum Beispiel zy(dx)(dz), z(dz)y(dx) oder y(dz)z(dx) ?

Merci!

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Und Ja ist die Multiplikation von 2 Kommutatoren kommutativ ? also ich meine wenn ich sowas habe:

\( -i \hbar \hat{L}_{z} \hat{L}_{y}+i \hbar \hat{L}_{y} \hat{L}_{z} \)

ergibt das 0 ?

Danke nochmals

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Bei der ersten Zeile deines Kommentares sollte es y(dx) oder?

Ja natürlich, du hast vollkommen recht! In der Mitte sollte es auch \( +z(\partial_z \partial_x) \) statt \( +z(\partial_x \partial_x) \) heißen. Da war ich beim TeXen leider wohl etwas schlampig :D

Ist es egal wie ich die Terme schreibe ? also ob zum Beispiel zy(dx)(dz), z(dz)y(dx) oder y(dz)z(dx) ?

Jein. Mathematisch ist das eher schwierig und im allgemeinen gar nicht möglich. Partielle Ableitungen kommutieren nur unter bestimmten Voraussetzungen (vgl. Satz von Schwarz). Im physikalischen Kontext ist das aber unerheblich da alle betrachteten Funktionen "hinreichend" glatt sind.

Also z.B. \( \partial_x \partial_y = \partial_y \partial_x \) ist möglich. Das verwende ich oben auch.

Was du gemacht hast geht aber i.allg nicht!

$$ z\partial_z y \partial_x = z(\partial_z y)\partial_x + zy \partial_z \partial_x = 0 + zy \partial_z \partial_x = zy \partial_z\partial_x $$Geht zwar, aber

$$ y\partial_z z \partial_x = y (\partial_z z )\partial_x + zy \partial_z \partial_x = y \partial_x + zy \partial_z \partial_x \neq zy \partial_z \partial_x $$funktioniert schon nicht mehr.

Wenn du etwas hinter einen Differentialoperator schiebst musst du beachten, dass dieser auch anschließend darauf wirkt.

Und Ja ist die Multiplikation von 2 Kommutatoren kommutativ ?

Nein. Wäre die Multiplikation kommutativ wäre der Kommutator = 0 ist er ja aber nicht, wie wir oben nachgerechnet haben.

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung !

aber bei :  =y∂x+zy∂z∂x≠zy∂z∂x ist da y∂x nicht eigentlich 0 ? dann folgt zy∂z∂x = zy∂z∂x ?

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Nein, \( y\partial_x \) ist nicht 0.

Z.B. Für \( f (x,y,z ) = xyz \) ist

$$ y\partial_x f = y^2z $$

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Ach Also es geht darum, was in den Klammern steht. z.B. bei der ersten war der erste Term = 0 da ( dz,y)=0 ist aber bei der zweiten Gleichung kann ich nicht ausschließen dass es 0 ergeben wird, da (dz,Z)=1 ist.

Wie heißt das Thema genau bzw. würdest du irgendein Buch dafür empfehlen wo ich mehrere Beispiele dafür finden kann? denn ich bin mir ehrlich gesagt nicht ganz sicher ob ich es richtig verstanden habe. ich habe auf Youtube ( differentialgleichung mit partieller Ableitung ) getippt, fand aber nichts hilfreiches dazu.

bedanke mich herzlich.