Lineare Abhängigkeit: M={v1,v2,v3,v4} des Q-Vektorraums Q^3 mit v1=(1,2,0),v2=(0,1,3),v3=(1,0,0),v4=(2,5,1).

Question

hallo zusammen!

ich bearbeite folgende Aufgabe seit tagen und komme irgendwie nicht klar.

Die Teilmenge M={v1,v2,v3,v4} des Q-Vektorraums Q3 besteht aus den Vektoren
v1 = (1,2,0), v2 = (0,1,3), v3 = (1,0,0), v4 = (2,5,1).

(1)  Zeigen Sie, dass M eine linear abhängige Teilmenge von Q3 ist.

(2) Zeigen Sie, dass M ein Erzeugendensystem von Q3 ist.

(3) Bestimmen Sie eine Teilmenge von M, die eine Basis von Q3 ist.

könnt ihr mir da weiterhelfen? wäre nett  danke.

wie kann ich zeigen dass M eine lineare abhängige teilmenge ist ,obwohl die Vektoren linear unabhängig sind

das verstehe ich nicht

Answer 1

Zu (1)

Die Vektoren sind linear abhängig, das macht M linear abhängig, in VR der Dimension 3 können höchstens 3 Vektoren l.u. sein.

Wie das zu prüfen ist ist klar oder? (z.B. mit Gauß Nullzeile erzeugen)

Zu (2)

Du kennst ja bereits eine Basis von ℚ³ die Standardbasis, du musst nur zeigen, dass du die Vektoren dieser Standardbasis erzeugen kannst

Zu (3)

Basen sind immer l.u. und erzeugen, per definition, d.h. du suchst eine l.u. Teilmenge von M, mit der du weiterhin die Standardbasis erzeugen kannst, das sollte recht einfach einzusehen sein, wenn du (1) und (2) tatsächlich nachgerechnet hast 

Comments

danke erstmal für die schnelle Antwort
Zu  1  ich habe versucht es zu überprüfen aber das geht nicht

meinst du ich soll nur drei Vektoren auf der Zeilestufenform bringen?also mit der zugehörige Matrix?

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Hi,

zwar bin ich nicht der Fragesteller, aber ich habe die gleiche Aufgabe (Uni Düsseldorf) ^^.

Ich habe jetzt v1, v2, und v3 in Gauß versucht aufzulösen.

Ich kriege für x1 x2 und x3 immer 0 raus.

Hier die GLeichungen:

1x1+2x2+0x3=0

0x1+1x2+3x3=0

1x1+0x2+0x3=0

Der Übersichtlichkeit halber:

1x1+2x2        =0                                 => x2 = 0

        1x2+3x3=0                                                       => x3 = 0

1x1                 =0    =>    x1 = 0

Was hat das zu bedeuten?

Ist der Ansatz richtig?

Sind die jetzt lin. Abhängig oder nicht?


 für die Antwort :)

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Lineare Unabhängigkeit heißt (in deinem Fall), dass für die drei Vektoren v1,v2,v3 mit zugehörigen Koeffizienten x1,x2,x3 die Gleichung

x1v1+x2v2+x3v3=0 nur mit x1=x2=x3=0 lösbar ist

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zu 7.1.1

man soll doch nur zeigen, dass die teilmenge linear abhämgig ist. und laut defi. muss das skalarprodukt 0 ergeben und das tut es doch, also bewiesen würde ich sagen, denn das dies eine teilmenge von Q^3 ist steht ja als ausgangspunkt fest....

bin auch verwirrt....

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@JoeTheCrow:

Danke erstmal für die Antwort.

Zusammengefasst heißt das also, dass wenn ich nichts als 0 für x1, x2, x3 einsetzen kann, die Vektoren lin. Unabhängig sind.
Ich muss aber die lin. Abhängigkeit zeigen.

@Anonym nach dem Post von JoeTheCrow:

Ob das mit dem Skalarprodukt geht bezweifle ich. Nicht das ichs besser weiß. Kommt mir aber zu einfach vor ^^

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@Ich muss aber die lin. Abhängigkeit zeigen

1. 4 Vektoren in einem 3-dim. Raum sind immer lin. abhängig. Wenn das bekannt ist, musst du bei a) gar nichts machen.

2. Zusammengefasst heißt das also, dass wenn ich nichts als 0 für x1, x2, x3 einsetzen kann, die Vektoren lin. Unabhängig sind.

Ergänze dein Gleichungssystem noch mit dem 4. Vektor und einem Skalar x4. Nun setzt du für x4 gleich mal 1 ein und schaust, welche x1,x2,x3 sich ergeben.

Da x4 ≠ 0 und wenn du sonst keine Widersprüche antriffst, hast du eine Darstellung

x1 * v1 + x2*v2 + x1*v3 + x4* v4 =0 gefunden. und die lin. Abh. bewiesen. Beachte fett geschrieben sind Vektoren. Das ist eine Vektorglg. und kein Skalarprodukt. 

Answer 2

Man kann einen der vier Vektoren z.b. V4 als linear Kombination der anderen drei  darstellen, dass heißt, er ist linear abhängig

Comments

Mich verwirrt das ein wenig mit der 5 bei v4...