Komplexe Zahlen: Gleichung lösen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die komplexe Zahlen:

\( z_{1}=\frac{29 \mathrm{i}-43}{2-\mathrm{i}} \)

\( z_{2}=\frac{34}{5 \mathrm{i}-3} \)

\( z_{3}=2 \sqrt{2} e^{i \cdot \pi / 4}+e^{i \cdot \pi / 2} \)

Berechnen Sie alle Lösungen \( z \in \mathbb{C} \) der Gleichung: \( \left(z-z_{2}\right)^{2}=z_{3}-z_{1} \)

Wie muss ich nach dem einsetzen der z1, z2 und z3 Werte weiter vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde erstmal alle 3 Zahlen normalisieren:

$$z_1=\frac{29i-43}{2-i}=\frac{(29i-43)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{58i-86+29i^2-43i}{4-i^2}$$$$\phantom{z_1}=\frac{-115+15i}{5}=-23+3i$$$$z_2=\frac{34}{5i-3}=\frac{34(-5i-3)}{(5i-3)(-5i-3)}=\frac{-170i-102}{9-25i^2}$$$$\phantom{z_2}=\frac{-102-170i}{34}=-3-5i$$$$z_3=2\sqrt2\,e^{i\pi/4}+e^{i\pi/2}=2\sqrt2\left(\underbrace{\cos\frac{\pi}{4}}_{=1/\sqrt2}+i\underbrace{\sin\frac{\pi}{4}}_{=1/\sqrt2}\right)+\underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{=0}+i\underbrace{\sin\frac{\pi}{2}}_{=1}$$$$\phantom{z_3}=2+2i+i=2+3i$$und dann an die Gleichung rangehen:

$$\left.(z-z_2)^2=z_3-z_1\quad\right|\;\text{rechts die Zahlen einsetzen}$$$$\left.(z-z_2)^2=(2+3i)-(-23+3i)\quad\right.$$$$\left.(z-z_2)^2=25\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.z-z_2=\pm5\quad\right|\;+z_2$$$$\left.z=\pm5+z_2\quad\right|\;z_2\text{ einsetzen}$$$$\left.z=\pm5+(-3-5i)\quad\right.$$$$\underline{z=-8-5i\quad;\quad z=2-5i}$$

Answer 2

Berechne doch erst mal konkret den rechten Term z₃-z₁. Welche komplexe Zahl erhältst du? Vermutlich kommst du dann selbst allein weiter.

Answer 3

Direkt einsetzen würde ich noch nicht. Sondern erst ein paar Umformungen für die Zahlen z1 bis z3 in die übliche kartesische Schreibweise in der Form a + b*i vornehmen. Dann wird sich herausstellen, dass z3-z1 eine reelle Quadratzahl ist (die Aufgabe ist also konstruiert, aber das ist ja eigentlich immer der Fall). Dann sind die Lösungen z = z2 + w und z = z2 - w, wobei w die Wurzel bezeichnet. Das kannst du sicher selbst rechnen, Kontrolle ist mit jedem CAS ganz einfach.