Partialbruchzerlegung im Reellen und im Komplexen: f(x) = (2x^2 + 9x+12)/(x^2 + 6x + 10); g(x)=x/(x-5)^2

Question

Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der folgenden rationalen Funktionen sowie deren Partialbruchzerlegung im Reellen und im Komplexen:

a)
$$ f(x)=\frac{2 x^{2}+9 x+12}{x^{2}+6 x+10} $$

b)
$$ g(x)=\frac{x}{(x-5)^{2}} $$

Ich wollte wissen, was hier der Ansatz ist und was mich am meisten stört ist der Unterschied zwischen PBZ im reellen und im Komplexen.

Answer 1

Hi,

a)

Mach erste eine Polynomdivision. Für die PBZ muss ja Nennergrad > Zählergrad sein.

$$\to 2+\frac{-3x-8}{x^2+6x+10}$$

Für den zweiten Summanden die Nennernullstellen finden: \(x = -3-i\) und \(x = -3+i\), sprich Komplex

Ansatz:

$$\frac{-3x-8}{x^2+6x+10} = \frac{Ax+D}{x^2+6x+10}$$

Wir haben also mit der Polynomdivision schon alles nötige gemacht.

b) Ansatz für doppelte Nullstelle

$$\frac{x}{(x-5)^2} = \frac{A}{(x-5)} + \frac{B}{(x-5)^2}\quad|\cdot(x-5)^2$$

$$x = Ax-5A + B$$

Koeffizientenvergleich:

x = Ax

0 = -5A+B

-> A = 1 und B = 5

$$\to\frac{1}{x-5} + \frac{5}{(x-5)^2}$$

Ansätze (falls nicht bekannt) siehe im obigen Link ;).

Grüße

Comments

Bei a) hab ich rumgefragt und einer meinte dass man keine Polynomdivision machen muss, da der grad größer ist, aber man sieht doch dass der Wert oben größer als der untere Wert ist, daher meine Frage hat er recht? Außerdem, was muss man denn noch bei a) machen außer einer Polynomdivision ? Die PBZ oder xD?

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Eine PBZ darf nur gemacht werden, wenn der Nennergrad > Zählergrad ist. Das ist nicht der Fall. Deswegen muss eine Polynomdivision gemacht werden. Mit dieser bist Du dann auch schon fertig. Man kann es nicht weiter zerlegen (siehe oben).

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Ok danke :D bei a) also nur eine Division und b ) pbz

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So isses ;).

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Ich Krieg die Krise xD kommilitonnen sagen mir das man bei a) noch eine pbz machen muss -.-

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Das ist doch nicht so schwierig. Probier das mal. Hast du Unknowns Artikel verstanden?

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Muss man aber nicht. Wie erwähnt ist das schon weitmöglichst gesplittet.

Frag doch mal nach, was die haben. Dann kann ich das nochmals beurteilen ;).

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Die haben das selber nicht ausgerechnet sondern sagen das nur, aber beweisen können die nix xD.

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Schaden kanns ja nicht be pbz zu machen xD

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Die hatte ich Dir schon gemacht ;).

Nach der Polynomdivision hat man die Nullstellen des Nenners anzuschauen.

Diese sind komplex. Der Ansatz für eine PBZ dafür ist:

$$\frac{-3x-8}{x^2+6x+10} = \frac{Ax+D}{x^2+6x+10}$$


Das entspricht genau dem, was schon da ist. Eine "feinere" PBZ ist deshalb nicht möglich.

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also sind demnach bei beiden aufgaben , also a) und b), die komplexe und reelle PBZ gleich?

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Wie meinen?

Also nochmals als Zusammenfassung:

a) Polynomdivision muss gemacht werden, da Nennergrad < Zählergrad ist. Hat man das kann man mit dem Restpolynom eine PBZ machen. D.h. "könnte", da sich da nichts weiter zerlegen lässt. Mit der PD sind wir fertig. (Ansatz für komplexe Nullstellen siehe oben, bzw. in meiner Ausführung)


b) Hier lässt sich nun direkt mit einer PBZ beginnen. Beachte, dass wir hier keinen "einfachen" reellen Ansatz haben, sondern, dass die Nullstelle doppelt ist. Es braucht einen spezielleren Ansatz. Entnehme diesen wieder oben, bzw. aus meiner pdf/Link.

Answer 2

meine Lösung für Teilaufgabe (a) lautet:

\( f(x)=2+\frac{0,5 i-1,5}{x+3+i}+\frac{-0,5 i-1,5}{x+3-i} \)