Umkehrfunktion von exponentialfunktionen bestimme

Question

Wie bestimme ich die umkehrfunktion von 2^x . Die f^1 (x) = log₂ (y) = x ist ja die Umkehrfunktion.

Aber wie komme ich auf den logarthmus, wenn ich den jetzt nicht kennen würde :)

Answer 1

Aber wie komme ich auf den logarthmus, wenn ich den jetzt nicht kennen würde :)

In der Mathematik ist man immer bestrebt, eine Operation umkehren zu können.

Also erste Frage. Warum besitzt die relle Expontialfunktion \(\text{exp} : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) eine Umkehrfunktion?

Nunja, für alle \(x>0\) ist \(\text{exp}(x)>1\), was man an der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion ablesen kann. Für alle \(x,y\in \mathbb{R}\) mit \(x>y\) folgt mit der Funktionalgleichung \(\frac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)}=\text{exp}(x-y)>1\) und damit \(\exp x >\exp  y\), was bedeutet, dass die Exponentialfunktion streng monoton wächst. Da alle Summanden in der Potenzreihenentwicklung positiv und unbeschränkt sind, folgt, dass \(\exp x \overset{x\to \infty} \longrightarrow \infty\) und wegen \(\exp(-x)=1/\exp(x) \overset{x\to -\infty}{\longrightarrow} 0\). Die Exponentialfunktion bildet demnach \(\mathbb{R}\) surjektiv auf \(\mathbb{R}_+\) ab.

Wir wissen also, dass \(f^{-1}(x)\) exisitiert wegen der Bijektion. Da \(f^{-1}(f(x))=x\) haben wir schon viel gewonnen . Meist hat man dann noch eine Funktionalgleichung, die des Logarithmus folgt aus \(\exp (\log x + \log y)=\exp (\log x)\exp (\log y)=xy=\exp(\log(xy))\) und damit:$$\log(xy)=\log x +\log y$$

Comments

Hallo Wurzel,
der Fragesteller hat aber gefragt wie man auf
die Logarithmuswerte  von Zahlen kommt.

---

Steht auch in der Antwort:

\(f^{-1}(f(x))=x\) muss gelten. Wenn also f(x)=e^x, dann ist f^(-1)(f(1))=1, also f^(-1)(e)=1

---

Ich meine
ln ( 7 ) = 1.9459
We berechnet man den Wert ?
Ein Link würde genügen.

---

ln(7) ist Lösung der Gleichung

e^x = 7

Das kann man letztendlich auch über ein Intervallschachtelungsverfahren lösen. Das geht also auch ganz ohne die Umkehrfunktion.

Damit es schneller geht haben Mathematiker die Umkehrfunktion ln(x) erfunden.

Dabei lagen früher Logarithmen als Tabellen vor.

Oder meinst du jetzt wie z.B. der Taschenrechner die Logarithmen ausrechnet?

---

Manuelle Bestimmung des Logarithmus.
Da muß ich doch wohl in meinen Büchern
nachsehen.

---

Georg,

kennst du die Potenzreihentwicklung \(\ln(1+x)=-\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-x)^{k+1}}{k+1}\)? Hiermit lassen sich gute Approximationen geben, z. B. \(\ln(1+x)≈ x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\) für \(x\in [0,0.5]\), je mehr Terme, desto besser :)

Answer 2

Aber wie komme ich auf den logarthmus, wenn ich den jetzt nicht kennen würde :)

Wenn du ihn nicht kennen würdest, dann müstest du ihn erfinden.

Comments

aber einer muss ja auf ihn gekommen sein

---

Ja. Irgendwann hatte irgendjemand die Idee:

Das, was der Exponent in der Gleichung a hoch b gleich c ist, nenne ich "Logarithmus von c zur Basis a".

Aus dieser Festlegung ergeben sich die Eigenschaften aller Logarithmusfunktionen.

---

Das war John Napier soweit ich weiß.

---

Aus dieser Festlegung ergeben sich die Eigenschaften aller Logarithmusfunktionen.

Wohl eher aus der Funktionalgleichung. Apropos, so ganz wie du das da sagst, funktioniert das nicht.