Grenzwert und Monotonie-Verhalten bei Folge herausfinden

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge \( x_{n}=\frac{3 \cdot n^{2}}{n^{2}+n} \) für \( n=1,2, \)

a) Berechnen Sie den Grenzwert \( a:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \)

b) Bestimmen Sie \( x_{n+1}-x_{n} \) als gekürzten Bruch und charkterisieren Sie das Monotonie-Verhalten.

c) Bestimmen Sie den Index \( N \), so dass \( \left|a-x_{N}\right|<10^{-1} \) gilt für alle \( n>N \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wieso man in den Lösungen von Aufgabe b im ersten Schritt 1/n macht -> xn = 3n^2 * 1/n / (n^2 +n) *1/n -> Damit man nicht mehr quadriert?

Wäre dankbar für eine Antwort.

Und stimmt, dass ich bei C den Grenzwert für a einsetzen kann? So wäre meine Überlegung.

Answer 1

a) ... = 3 wie in der Schule, kürzen mit n²

b) x_n+1 - x_n

=  \( \frac{3(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}+(n+1)} \) - \( \frac{3n^{2}}{n^{2}+n} \)         zuerst kürzen!

=  \( \frac{3(n+1)}{(n+1)+1} \) - \( \frac{3n}{n+1} \)       dann Hauptnenner!

=  \( \frac{3(n+1)^{2}}{(n+2)(n+1)} \) - \( \frac{3n(n+2)}{(n+1)(n+2)} \) 

=  \( \frac{3(n+1)^{2}-3n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \)

=  \( \frac{3(n^{2}+2n+1)-3n^{2}-6n}{(n+2)(n+1)} \)

=  \( \frac{1}{(n+2)(n+1)} \) > o     also str. mon. steigend

c) komische Formulierung: den Index N (Es gibt viele Lösungen)

I 3 - \( \frac{3n^{2}}{n^{2}+n} \) I = I 3 - \( \frac{3n}{n+1} \) I = I \( \frac{3n+3 -3n}{n+1} \) I = I \( \frac{3}{n+1} \) I < I 3/n I = 3/n

<1/10 geht mit n>N=30 (andere Lösung: N=1 Million)