Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationaler Funktion?

Question

Gegeben ist die Funktion

(ax^2+5)/(3*x-1)

Wie verhält sich die Funktion im unendlichen?

Kann jemand die Funktion mit der Grenzwertbtrachtung machen (LImes)?

Answer 1

> Und wie kann man das Verhalten im Unendlichen Interpretieren?

das  Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion erkennt am genauesten, wenn man ihre Asymptote betrachtet:

Mit der Polynomdivision  (ax² + 5) : (3x-1) erhält man

\(\frac{ax^2+5}{3x-1}\)  = a/3 • x + \(\frac{a/3 + 5}{3x-1}\)

Da der Rest für x→±∞  gegen 0 strebt, nähert sich der Graph von f für x→±∞ immer mehr dem Graph der Asymptotenfunktion.

Also:

lim_x→∞ f_a(x) =  lim_x→∞  (a/3 • x)  = ∞    für a≥0

lim_x→∞ f_a(x) =  lim_x→∞  (a/3 • x)  = - ∞  für a<0    

Für a=2 hier ein Plotterbild:

Gruß Wolfgang

        

Answer 2

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{a x^{2}+5}{3 x-1} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}\left[a+\frac{5}{x^{2}}\right]}{x^{2}\left[\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right]}=\frac{a+0}{0-0}=\infty \) 

Comments

Und wie kann man das Verhalten im unendlichen Interpretieren?

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Ich denke,  das Vorzeichen des Grenzwerts   (±∞) hängt vom Vorzeichen von a  ab.

lim_x→∞ f_a(x) =  ∞  für a≥0

 lim_x→∞ f_a(x) =  -∞  für a<0   (vgl. meine Antwort)