Verhalten im Unendlichen(Aufgaben)

Question

Aufgabe:

1) $$\int \limits_{0}^{∞}e^{-x}dx$$

2) $$\lim\limits_{c\to0}\int \limits_{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}dx ; c>0$$

Komme da leider nicht weiter. Könntet ihr mir bitte helfen?

Und wie wäre bei 2 die Lösung wenn die Funktion nicht bei 0 stoppen würde?

Problem/Ansatz:

1) $$\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}$$
a > 0 : ∞
a=0  : 1
a<0: 0

2) $$c>0;\lim\limits_{c\to0}\int \limits_{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{c\to0} (2*\sqrt{121}-2*\sqrt{c})= 2*11=22$$

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Könntet ihr mir bitte noch bei dieser Aufgabe helfen?

1) $$\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}$$

(Siehe Ansatz)

Answer 1

1)

        \(\begin{aligned} & \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{t}\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\left(\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)-\left(-\mathrm{e}^{-0}\right)\right)\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\left(-\mathrm{e}^{-t}+1\right)\\ =\, & \lim_{t\to\infty}-\mathrm{e}^{-t}+\lim_{t\to\infty}1\\ =\, & 0+1\\ =\, & 1 \end{aligned}\)

2)

        \(\begin{aligned} & \lim\limits _{c\to0}\int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\\ =\, & \lim\limits _{c\to0}\left[2\sqrt{x}\right]_{c}^{121}\\ =\, & \lim\limits _{c\to0}\left(\left(2\sqrt{121}\right)-\left(2\sqrt{c}\right)\right)\\ =\, & \lim\limits _{c\to0}2\sqrt{121}-\lim\limits _{c\to0}2\sqrt{c}\\ =\, & 22-0\\ =\, & 22 \end{aligned}\)

Und wie wäre bei 2 die Lösung wenn die Funktion nicht bei 0 stoppen würde?

Für \(c_0 < 0\) ist \(\lim\limits _{c\to c_0}\int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\) nicht definiert.

Für \(c_0 > 0\) kann \(\lim\limits _{c\to c_0}\int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\) berechnet werden indem der Wert von \(c_0\) für \(c\) im Integral eingesetzt wird und dann das Integral berechnet wird, weil die Funktion

        \(c\mapsto \int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)

stetig ist.

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Danke :)

Und \(\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}\)?

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Und auch bei einer älteren Frage(https://www.mathelounge.de/856836/verhalten-im-unendlichen-aufgaben#…) , wo die Antwort noch offen ist? \(\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}\)

Georg hat Dir ja schon geholfen. Hier nochmal: 1.Fall \(a \ne -1\)$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx \\=\lim\limits_{x\to\infty} \left[ \frac{1}{a+1} x^{a+1}\right]_1^x \\= \lim\limits_{x\to\infty} \left[\frac{1}{a+1} x^{a+1} - \frac{1}{a+1} 1^{a+1}\right] \\= \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{a+1} -1}{a+1} \\= \frac{1}{a+1}\left(\lim\limits_{x\to\infty} x^{a+1} -1\right) \\\ne \frac{x^{a+1}}{x+1}\\$$Für \(a \lt -1\) wird \(\lim\limits_{x\to\infty} x^{a+1} = 0\) und dann folgt daraus$$\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{-1}{a+1} \quad a \lt -1$$Für \(a \gt -1\) geht das gegen unendlich.

2.Fall: \(a=-1\)$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{-1}dx \\=\lim\limits_{x\to\infty} \left[\ln(x) \right]_1^x \\= \lim\limits_{x\to\infty} \left[\ln(x) - \underbrace{\ln(1)}_{=0}\right] \\= \lim\limits_{x\to\infty} \ln(x) \to \infty$$

Answer 2

f = e^(-x)
Stammfunktion
S ( x ) = - e^(-x)
Integral S zwischen null und ∞
[- e^(-∞) ] - [- e^(-0) ]
0 + 1 = 1

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Und diese Aufgabe?\(\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}\)

für(jeweils) a<0, a=0 , a>0

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Ich kann dir da leider nicht helfen

f ( x ) = x ^a
Stammfunktion
S ( x ) = x ^ (a + 1) / ( a + 1 )
[ S ( x ) ] zwischen 1 und ∞
∞ ^ (a + 1) / ( a + 1 ) minus
1 ^ (a + 1) / ( a + 1 )

Mein Matheprogramm meint

∞ falls a = - 1
1- / ( a + 1  ) falls a < - 1

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Und diese Aufgabe?

Dieser Aufgabe könntest du eine eigene Frage widmen. Dabei solltest du deutlich zwischen der Aufgabe und deinen eigenen Ansätzen dazu unterscheiden. Außerdem fällt noch auf, dass die Variable x, nach der integriert wird, auch in einer der Integrationsgrenzen vorkommt. So etwas vermeidet man für gewöhnlich.