f(x) = e^(x) - x Verhalten im Unendlichen. Warum gibt e^∞ - ∞ nicht 0?

Question

\( \lim\limits_{x\to\infty} e^x - x \) = e∞ - ∞

da ja e^∞ unendlich ist, aber unendlich - unendlich = 0 ist, habe ich x gegen +∞ = 0 geschrieben

und bei limes x gegen -unendlich war ja e^(-∞) + ∞ was ja 0 + unendlich ergibt, was unendlich ist. aber ich habe auf geogebra gesehen, dass ich irgendwie falsch liege. wo liegt der fehler?

Comments

Was für eine Mathematik ist das eigentlich?

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pardon, du hast recht. die richtige schreibweise von limes ist mir abhanden gekommen aber wenn der inhalt verstanden wird, ist doch super :D

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Aussagen wie "unendlich - unendlich = 0" sind im allgemeinen nicht richtig.

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$$\mathrm e^x-x=1+\sum_{k=2}^\infty\frac{x^k}{k!}>\tfrac12x^2\longrightarrow\infty\text{ für }x\longrightarrow\infty.$$

Answer 1

aber unendlich - unendlich = 0

Das ist schon mal der totale Humbug

2x - x = x

müsste dann ja auch für x gegen unendlich gegen 0 gehen was offensichtlich nicht sein kann.

Comments

∞ subtrahiert mit ∞ ist doch eindeutig 0 !

x -x = 0

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Das ist totaler Unsinn. Vergiss sowas schnell wieder

lim (x → ∞) 2*x - x = (2*∞) - (∞) = ∞ - ∞ = 0

Das ist so völliger Unsinn, Da wirst du mir hoffentlich zustimmen.

∞ - ∞ ist so überhaupt nicht definiert. Man muss viel mehr vorher dafür sorge tragen das ein definierter Term entsteht.

∞ - ∞ kann alles sein. Von minus ∞ bis + ∞ und auch einen genauen Grenzwert haben.

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Ich konnte entnehmen: das Ergebnis vom unendlich - unendlich ist undefiniert. Nun gut, etwas neues dazugelernt, jedoch wie würde es dann weitergehen? Ich meine, ich muss ja immer noch einen Grenzwert bestimmen. Wenn es undefiniert ist, was kommt dann raus für +∞?

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f(x) = e^x - x

f'(x) = e^x - 1

lim (x → ∞) f'(x) = ∞

Damit ist f(x) für x > 0 nicht nur monoton wachsend sondern ist auch progressiv wachsend mit einer immer größer werdenden Steigung. Daher wächst f(x) über alle Grenzen

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Answer 2

Erweitern mit e^x+x erlaubt die mehrfache Anwendung von  l'Hospital, bis Klarheit herrscht.