Verhalten der Funktion im Unendlichen (4x+6) / ({(x+2)^2)?

Question

Aufgabe:

f(x)= \( \dfrac{4x+6}{(x+2)^2} \)

Gesucht sind a)Verhalten von Gf in  der Umgebung der Definitionslücke, b)Verhalten von f im Unendlichen und c)Gleichungen für Asymptoten von Gf.

Problem/Ansatz:

a)

lim x → -2 (>größer) \( \frac{4x+6}{(x+2)^2} \)

Zähler geht gegen -2 und Nenner geht gegen 0 (+) daher geht f(x) gegen - ∞

lim x → -2 (<) \( \frac{4x+6}{(x+2)^2} \)
Zähler geht gegen -2 und Nenner geht gegen 0 (+) daher geht f(x) auch gegen - ∞

daher senkrechte Asymptote x= -2

Ist das richtig? Und zusätzliche Frage: soll ich das verhalten lim x → -/+ ∞ berechnen?

b)Grad Nenner > Grad Zähler daher

lim x → + ∞ = lim x → - ∞ f(x) = 0

waagrechte Asymptote y= 0

c) senkrechte Asymptote x = -2 (ohne Vorzeichenwechsel)

waagrechte Asymptote y=0

Ich wäre für jede Korrektur dankbar

Answer 1

Gesucht sind

a) Verhalten von Gf in  der Umgebung der Definitionslücke,

In der Umgebung der Definitionslücke ist der Zähler negativ. Der Nenner ist ein Quadrat und damit immer positiv. Daher gilt

lim (x → -2) = -∞

b) Verhalten von f im Unendlichen und

Der Zähler ist linear und der Nenner quadratisch. Daher gilt

lim (x → ±∞) = 0

c) Gleichungen für Asymptoten von Gf.

y = 0 sowie x = -2

Du hast das alles richtig. Gut gemacht.

Comments

Hier noch eine Skizze

~plot~ (4x+6)/(x+2)^2;0;x=-2;[[-12|8|-10|10]] ~plot~