Wie ermittle ich den ggT und kgV mit einer Unbekannten? ggT (315,n) = 45 sowie kgV (15,n) = 90

Question

Aufgaben:

a) ggT (315,n) = 45

b) kgV (15,n) = 90

Problem/Ansatz:

Primfaktorzerlegung

a) 315 = 3^2 .  5^1 .  7¹         45 = 3^2 .  5¹

b) 90 = 2^1 .  3^2 .  5¹           15 = 3^1 .  5¹

Leider weiß ich nicht wie man ggT und kgV mit einer Unbekannten herausfindet. Ich muss alle möglichen natürlichen Zahlen angeben.

Comments

Aufgabe a) hat unendlich viele Lösungen. Und der Ansatz mit der Angabe aller möglichen Primfaktorzerlegungen ist sicher der beste. Aber b) kannst du zur Not mit "Probieren" lösen, da gibt es nur wenige Möglichkeiten.

Answer 1

a) 315 = 3² ·  5¹ ·  7¹        45 = 3² ·  5¹

Die Primfaktorzerlegung von n hat die Form

        n = 2a · 3b · 5c · 7d · ∏i=5..∞ pi ni.

Dabei ist p_i die i-te Primzahl. Außerdem muss a ≥ 0, b ≥ 2, c ≥ 1, d = 0 und n_i ≥ 0 ∀ i ∈ ℕ sein.

a ≥ 0 ist kein Problem, weil 2 in der PFZ von 315 nicht vorkommt.

b ≥ 2 muss sein, weil sonst 45 kein gemeinsamer Teiler von 315 und n sein kann.

b > 2 ist kein Problem, weil 3³ in der PFZ von 315 nicht vorkommt

Ein ähnliches Argument wie für b gilt auch für c.

d = 0 muss sein, weil 7 in der PFZ von 45 nicht vorkommt.

Comments

Ich habe leider nicht verstanden wie du auf die Form der Primfaktorzerlegung gekommen bist, welches Argument für b gilt und was ist das für ein Zeichen nach 7^d?

Und gibt es jetzt keine richtige Zahl für n? Ich würde meinen das mindestens     3^{2 .} 5¹ enthalten ist und alle übrigen Primzahlen vorkommen dürfen. Was kannst du zum Abschluss sagen? Dankeschön nochmals!

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und was ist das für ein Zeichen nach 7d?

Das ist ein großes Pi. Die entsprechenden Kleinbuchstaben π kennst du vielleicht im Zusammenhang mit Kreisen.

Das große Pi wird für Produkte verwendet, ähnlich wie das große Sigma (∑) für Summen verwendet wird. Zum Beispiel ist

        ∏_i=3..6 (i+2)² = (3+2)² · (4+2)² · (5+2)² · (6+2)².

wie du auf die Form der Primfaktorzerlegung gekommen bist

Jede PFZ hat diese Form. Ich habe lediglich die ersten vier Faktoren getrennt von den anderen aufgeschrieben.

welches Argument für b gilt

Das b ≥ 2 sein muss, weil sonst 45 kein gemeinsamer Teiler von 315 und n ist und dass b > 2 sein darf, weil 3³ in der PFZ von 315 nicht vorkommt.

Und gibt es jetzt keine richtige Zahl für n?

Doch, die gibt es. Und zwar nicht nur eine, sondern unendlich viele.

Nebenbei bemerkt, jede Zahl ist eine richtige Zahl.

Ich würde meinen das mindestens    3² · 5¹ enthalten ist

Deshalb b ≥ 2 und c ≥ 1.

und alle übrigen Primzahlen vorkommen dürfen

Die 7 darf nicht vorkommen (es muss d=0 sein).

Answer 2

a) ggT (315,n) = 45

Da 45 ein Teiler von 315 ist (siehe deine Primfaktorpotenzenzerlegung von 315) ist n=45 schon mal eine Lösung. Offenbar ist n=90=45*2 noch eine. Auf diese Weise kommt man auch dann noch voran, wenn man sonst keinen Plan hat.

Comments

und wie kann ich alle möglichen herausfinden?

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Na ja, nach den Vorgaben muss(!) n ein Vielfaches von 45 sein, aber vielleicht kommen nicht alle solche Vielfachen in Frage.