Aufgabe:
Die Gumbel-Verteilung Gumbel(µ, β) mit Parametern µ ∈ ℝ, β > 0 ist das kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsmaß mit Verteilungsfunktion
F : ℝ ←→ [0, 1], F(t) = exp(exp(−\( \frac{t-μ}{β } \) )) .
Seien X1, . . . , Xn unabhängige und identisch Gumbel(− log(λ), 1) -verteilte Zufallsvariablen, wobei der Parameter λ ∈ (0, ∞) unbekannt sei.
a) Zeigen Sie, dass die Dichtefunktion der Gumbel(− log(λ), 1) -Verteilung gegeben ist durch
f− log(λ),1(x) = \( \frac{exp(-x)}{λ} \) exp (- \( \frac{exp(-x)}{λ} \) ).
b) Zeigen Sie, dass λn = \( \frac{1}{n} \) ∑ni=1 exp(-Xi) (λ hier mit Dach â) der eindeutige Maximum-Likelihood-Schätzer für λ ist.
c) Entscheiden Sie, ob λn (λ hier mit Dach â) erwartungstreu ist.
(Hinweis: Betrachten Sie die Substitution y = exp(−x)/λ.)
d) Entscheiden Sie ob λn (λ hier mit Dach â) konsistent ist.
(Hinweis: Sie dürfen ohne Nachweis nutzen, dass E(exp(−X1)2) = 2λ2.)
