Zeigen Sie, dass die Funktion \( F: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( F(x)=x \arctan (x)-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right) \) eine Stammfunktion von \( f:=\arctan : \mathbb{R} \longrightarrow(-\pi / 2, \pi / 2), x \longmapsto \arctan (x) \) ist und berechnen Sie mit \( F \) den Flächeninhalt \( A, \) der zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \) -Achse über dem Intervall \( [-1,1] \) eingeschlossen wird.
Berechnen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung \( p_{3} \) von \( f \) um \( x_{0}=0 \) und ermitteln Sie mit \( p_{3} \) einerungswert \( A_{p_{3}} \) für \( A . \) Geben Sie schließlich die prozentuale Abweichung von \( A \) und \( A_{p_{3}} \) an und nennen Sie eine Möglichkeit, wie man die Güte der Approximation verbessern kann.
Wie gehe ich die Aufgabe am besten an?
Ich würde die Aufgabe beginnen mit der Bildung der Ableitung von f(x) = arctan (x). Dies sollte dann laut einiger Tabellen, die ich herausgesucht habe f'(x)= \( \frac{1}{1+x^2} \) ergeben. Wie genau bilde ich diese Ableitung und wie gehe ich weiter voran?
Ich wäre euch extrem dankbar über Hilfe!
