1. Zeigen Sie, dass die Menge der geraden natürlichen Zahlen abzählbar unendlich ist. Geben Sie die entsprechende Abbildung konkret an und zeigen Sie, dass diese bijektiv ist.
2. Zeigen Sie, dass Z×Z abzählbar unendlich ist.
3. Zeigen Sie: Sind A und B abzählbar unendlich, so auch A∪B .
4. Ist die Menge der Primzahlen abzählbar unendlich? Beweisen Sie!
5. Geben Sie eine Menge an, die überabzählbar unendlich ist (abgesehen von R und R∖Q ) und begründen Sie.
Meine Ideen:
1) injektiv: f(x) = 2x = 2y = f(y) I:2 -> x=y also injektiv
surjektiv: für alle b Element 2ℕ ∃ a ∈ℕ : f(a) = b b = 2a <-> a = b/2 , da b durch 2 teilbar ist, muss gelten a ∈2ℕ.
4)ℕ ist abzählbar unendlich -> da die Menge der Primzahlen Teilmenge von ℕ ist, muss diese auch abzählbar unendlich sein.
5) Potenzmengen von ℕ; aber ich habe keine wirkliche Begründung - es sind auch Teilmengen von ℕ.
