Exponentialgleichung (Logarithmus; negatives Vorzeichen; Was mache ich falsch?)

Question

Zuerst hoffe ich, dass ich mit der Frage alles richtig gemacht habe, weil ich mich hier noch nicht ganz so gut auskenne. Möchte mich entschuldigen, falls nicht!

Jedenfalls: Ich hätte eine Frage zu dieser Exponentialgleichung, da ich mit dieser schon seit längerer Zeit kämpfe und einfach nicht auf die richtige Lösung komme.
Auf der linken Seite im Bild (oben + unten) ist die Rechnung, die wir in der Schule mit dem Lehrer gerechnet haben.
Auf der rechten Seite sind zwei Versuche, die ich zu Hause selbst gestartet habe.
Das Problem ist, dass ich selbst nicht auf die richtige Lösung komme, da (wie im ersten Beispiel) ein negatives Vorzeichen vorhanden ist und ich deshalb keinen log anwenden kann oder dass wie im zweiten Beispiel das 0.227x einfach wegfällt und ich nach nichts mehr auflösen kann und es demnach wieder keine Lösung gibt.
Daher möchte ich gerne wissen, was ich falsch mache und warum es nicht funktioniert.

Ich würde mich jedenfalls über eine kleine Unterstützung sehr freuen!
Herzliche Grüße :-)

Answer 1

du hast dich oben in der dritten zeile leider verrechnet,
ganz links müsste in der klammer (3-1) stehen.
das ist aber nicht das ausschlag gebende.
sondern, du fängst viel zu früh an zu logarithmieren. du begibst dich damit
in übelstes dickicht, in einen wahrhaftigen logarithmendschungel.
das merkst du spätestens wenn du das noch einmal in diesem stil versuchst, oder
dir meine rechnung weiter unten anschaust.
übrigens, ein log(-15) ist formal noch längst kein fehler.
z.b. ist log(1) = log((-1)*(-1)) = log(-1) + log(-1), etc.
ist also ein zweiter term mit einem negativen logatithmus in
greifbarer nähe, z.b. log(-3) so nehme man diesen und schreibe
z.b. log(-15) + log(-3) = log((-15)*(-3)) = log(45)
oder log(-15) - log(-3) = log(-15/-3) = log(5).
auf diese art kannst du dich durch deinen log-dschungel durchschlagen.
einmal angefangen wie rechts oben auf deinem bild, könntest du so weitermachen:
$$
4^{2x+1}(-15) = -3^{3x+1}(2) \\
(2x+1)\log 4 + \log (-15) = (3x+1)\log(-3)+\log 2 \\
2x\log 4 + \log 4 + \log (-15) = 3x \log(-3) + \log(-3) +\log 2 \ \ \ | - 3x \log(-3)  \\
2x\log 4 - 3x \log(-3) + \log 4 + \log (-15) = \log(-3) +\log 2 \ \ \ |- \log 4 - \log (-15) \\
2x\log 4 - 3x \log(-3) = \log(-3) + \log 2 - \log 4 - \log (-15) \\
2x\log((-1)\cdot(-4)) - 3x \log((-1)\cdot3) = \log \left(\frac{-3}{-15}  \right) + \log \left(\frac{2}{4}  \right) \\
2x \log(-1) + 2x\log(-4) - 3x\log(-1)-3x\log 3 = \log\left(\frac{1}{5}  \right) + \log \left(\frac{1}{2}  \right) \\
\log(-1)(2x-3x)+x(2\log(-4)-3\log 3) = \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
-x\log(-1)+x(2\log(-4)-3\log 3) = \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\log(-4)-\log(-1)-3\log 3  \right) = \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log(-4)-\frac{1}{2}\log(-1)  \right)-3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log(-4)-\log\left((-1)^{\frac{1}{2}}  \right)  \right)-3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log(-4)-\log\left((-1)\cdot 1^{\frac{1}{2}}  \right)  \right)-3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log(-4)- \left(\log(-1)+\log 1^{\frac{1}{2}}   \right)  \right) -3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log(-4)- log(-1) -\log 1^{\frac{1}{2}} \right) -3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log \left(\frac{-4}{-1}  \right) -\log 1^{\frac{1}{2}} \right) -3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2\left(\log 4 -\frac{1}{2}\log 1 \right) -3\log 3   \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2 \log 4 - 2\cdot\frac{1}{2}\cdot0-3\log 3    \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(2 \log 4 -3\log 3    \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x\left(\log 4^2 -\log 3^3    \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x \left(\log \frac{4^2}{3^3}  \right)= \log \left(\frac{1}{10}  \right) \\
x = \frac{\log \left(\frac{1}{10}  \right)}{\log \left(\frac{4^2}{3^3}  \right)} \\
x = \frac{\log \left(\frac{1}{10}  \right)}{\log \left(\frac{16}{27}  \right)} \\
x \approx 4,40056

$$
:D

das ist nicht nur ein logarithmendschungel, das ist auch eine wahre logarithmenorgie.
ich würde mir das logarithmieren doch lieber erst ganz zum schluss 'gönnen'.
zwar ist das eine ganz nette übung die logarithmengesetze zu üben und terme umzuformen,
produktivität geht aber anders.

bei deinem zweiten ansatz machst du einen fatalen fehler, du versuchst
eine summe zu logarithmieren.
dieses logarithmengesetzt gibt es aber nicht!
es gibt nur ein paar ausnahmen, wo es funktioniert https://www.youtube.com/watch?v=YaTfjuu6gwY
und das die gleichung so nicht aufgehen kann, hast du ja sicher selbst gemerkt,
in der letzten zeile steht 0.125 = 0.825, das ist eine falsche aussage.

gruß,
    gorgar

Answer 2

Ich nehme mich mal deiner ersten Rechnung an

4^{2·x + 1} - 3^{3·x + 1} = 4^{2·x + 3} - 3^{3·x + 2}

4^{2·x + 1} - 4^{2·x + 3} = - 3^{3·x + 2} + 3^{3·x + 1}

Achtung hier hattest du schon einen Fehler

- 15·2^{(4·x + 2)} = - 2·3^{3·x + 1}

Jetzt zunächst mit -1 multiplizieren bevor du den Logarithmus anwendest

15·2^{4·x + 2} = 2·3^{3·x + 1}

LN(15) + (4·x + 2)·LN(2) = LN(2) + (3·x + 1)·LN(3)

Das kannst du jetzt auflösen und du solltest deine Lösung erhalten